Номер 37.24, страница 188 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.24. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 20, \\ xy = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + xy = 2, \\ y^2 + xy = 7. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ xy = 8 \end{cases} $

Это симметрическая система уравнений. Один из способов ее решения — использование формулы квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Мы можем выразить $x^2 + y^2$ через $(x+y)^2$ и $xy$:

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

Подставим в это выражение известные значения из системы:

$20 = (x+y)^2 - 2 \cdot 8$

$20 = (x+y)^2 - 16$

$(x+y)^2 = 20 + 16$

$(x+y)^2 = 36$

Отсюда следует, что $x+y$ может принимать два значения:

1) $x+y = 6$

2) $x+y = -6$

Теперь решим две системы уравнений.

Случай 1:

$ \begin{cases} x+y = 6 \\ xy = 8 \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.

$t_1 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6-2}{2} = 2$.

$t_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6+2}{2} = 4$.

Значит, если $x=2$, то $y=4$, и если $x=4$, то $y=2$. Получаем две пары решений: $(2, 4)$ и $(4, 2)$.

Случай 2:

$ \begin{cases} x+y = -6 \\ xy = 8 \end{cases} $

Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-6)t + 8 = 0$, то есть $t^2 + 6t + 8 = 0$.

Найдем корни. Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.

$t_1 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-6-2}{2} = -4$.

$t_2 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-6+2}{2} = -2$.

Значит, если $x=-4$, то $y=-2$, и если $x=-2$, то $y=-4$. Получаем еще две пары решений: $(-4, -2)$ и $(-2, -4)$.

Ответ: $(2, 4), (4, 2), (-2, -4), (-4, -2)$.

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + xy = 2 \\ y^2 + xy = 7 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x^2 + xy) + (y^2 + xy) = 2 + 7$

$x^2 + 2xy + y^2 = 9$

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы:

$(x+y)^2 = 9$

Отсюда получаем два возможных значения для суммы $x+y$:

1) $x+y = 3$

2) $x+y = -3$

Преобразуем исходную систему, вынеся общие множители за скобки:

$ \begin{cases} x(x+y) = 2 \\ y(x+y) = 7 \end{cases} $

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $x+y = 3$.

Подставим это значение в преобразованную систему:

$ \begin{cases} x \cdot 3 = 2 \\ y \cdot 3 = 7 \end{cases} $

Из этих уравнений находим $x$ и $y$:

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{7}{3}$

Проверим, выполняется ли условие $x+y=3$: $\frac{2}{3} + \frac{7}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Условие выполнено.

Таким образом, первая пара решений: $(\frac{2}{3}, \frac{7}{3})$.

Случай 2: $x+y = -3$.

Подставим это значение в преобразованную систему:

$ \begin{cases} x \cdot (-3) = 2 \\ y \cdot (-3) = 7 \end{cases} $

Из этих уравнений находим $x$ и $y$:

$x = -\frac{2}{3}$

$y = -\frac{7}{3}$

Проверим, выполняется ли условие $x+y=-3$: $-\frac{2}{3} + (-\frac{7}{3}) = -\frac{9}{3} = -3$. Условие выполнено.

Таким образом, вторая пара решений: $(-\frac{2}{3}, -\frac{7}{3})$.

Ответ: $(\frac{2}{3}, \frac{7}{3}), (-\frac{2}{3}, -\frac{7}{3})$.