Номер 37.31, страница 189 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.31*. Решите систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ x + y + xy = 23 \end{cases}$ методом замены переменной.

Данная система является симметрической, так как при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ уравнения не изменяются. Для решения таких систем удобно использовать метод замены переменных, основанный на элементарных симметрических многочленах.

Введем новые переменные: пусть $u = x + y$ и $v = xy$.

Выразим левые части уравнений исходной системы через новые переменные $u$ и $v$.

Второе уравнение системы $x + y + xy = 23$ сразу принимает вид:

$u + v = 23$

Для преобразования первого уравнения $x^2 + y^2 = 34$ воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Отсюда можно выразить $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

Подставляя новые переменные, получаем:

$u^2 - 2v = 34$

Таким образом, мы получили новую систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$ \begin{cases} u^2 - 2v = 34 \\ u + v = 23 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $v$ через $u$:

$v = 23 - u$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$u^2 - 2(23 - u) = 34$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $u$:

$u^2 - 46 + 2u = 34$

$u^2 + 2u - 46 - 34 = 0$

$u^2 + 2u - 80 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-80$. Этим условиям удовлетворяют числа $8$ и $-10$.

$u_1 = 8$, $u_2 = -10$

Теперь найдем соответствующие значения $v$ для каждого найденного $u$, используя формулу $v = 23 - u$.

• Если $u_1 = 8$, то $v_1 = 23 - 8 = 15$.
• Если $u_2 = -10$, то $v_2 = 23 - (-10) = 33$.

Мы получили две пары значений $(u, v)$. Теперь необходимо вернуться к исходным переменным $x$ и $y$, решив две системы для каждой пары.

Случай 1: $u = 8$ и $v = 15$

Возвращаемся к замене $u = x + y$ и $v = xy$, получаем систему:

$ \begin{cases} x + y = 8 \\ xy = 15 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - ut + v = 0$, то есть $t^2 - 8t + 15 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 2}{2}$.

$t_1 = \frac{8+2}{2} = 5$

$t_2 = \frac{8-2}{2} = 3$

Следовательно, решениями этой системы являются пары чисел $(3, 5)$ и $(5, 3)$.

Случай 2: $u = -10$ и $v = 33$

Получаем систему:

$ \begin{cases} x + y = -10 \\ xy = 33 \end{cases} $

Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-10)t + 33 = 0$, то есть $t^2 + 10t + 33 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 100 - 132 = -32$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в этом случае система не имеет решений в действительных числах.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что исходная система имеет две пары решений.

Ответ: $(3, 5), (5, 3)$.