Номер 37.36, страница 189 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.36*. Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше самого числа. Если к этому числу прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найдите исходное число.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $\overline{ab}$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Тогда значение этого числа можно записать как $10a + b$. При этом $a$ — это целое число от 1 до 9, а $b$ — целое число от 0 до 9.

Из первого условия задачи известно, что произведение цифр числа в три раза меньше самого числа. Это означает, что само число в три раза больше произведения своих цифр. Запишем это в виде уравнения:

$10a + b = 3 \cdot (a \cdot b)$

Из второго условия известно, что если к этому числу прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Число, записанное в обратном порядке, — это $\overline{ba}$, его значение равно $10b + a$. Составим второе уравнение:

$(10a + b) + 18 = 10b + a$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 10a + b = 3ab \\ 10a + b + 18 = 10b + a \end{cases}$

Давайте упростим второе уравнение, чтобы найти связь между $a$ и $b$:

$10a - a + b - 10b = -18$

$9a - 9b = -18$

Разделим обе части уравнения на 9:

$a - b = -2$

Отсюда можно выразить $b$:

$b = a + 2$

Теперь подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы ($10a + b = 3ab$):

$10a + (a + 2) = 3a(a + 2)$

Упростим и решим получившееся квадратное уравнение относительно $a$:

$11a + 2 = 3a^2 + 6a$

$3a^2 + 6a - 11a - 2 = 0$

$3a^2 - 5a - 2 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$a_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Поскольку $a$ — это цифра десятков, она должна быть целым числом от 1 до 9. Следовательно, корень $a_2 = -\frac{1}{3}$ не является решением задачи. Единственное подходящее значение — $a=2$.

Теперь найдем $b$, используя соотношение $b = a + 2$:

$b = 2 + 2 = 4$

Итак, мы получили, что цифра десятков равна 2, а цифра единиц — 4. Искомое число — 24.

Проведем проверку:

1. Произведение цифр числа: $2 \cdot 4 = 8$. Само число — 24. $24 = 3 \cdot 8$. Первое условие выполняется.

2. Прибавим 18 к числу: $24 + 18 = 42$. Число 42 — это число, записанное цифрами 2 и 4 в обратном порядке. Второе условие выполняется.

Таким образом, найденное число полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: 24