Номер 37.33, страница 189 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.33*. Два поезда длиной 490 м и 210 м равномерно движутся навстречу друг другу по параллельным путям. Машинист одного из них заметил встречный поезд на расстоянии 700 м. После этого через 28 с поезда встретились. Определите скорость каждого поезда (в $\frac{\text{м}}{\text{с}}$), если известно, что один из них проезжает мимо светофора на 35 с быстрее, чем другой.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $L_1 = 490$ м — длина первого поезда.
• $L_2 = 210$ м — длина второго поезда.
• $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго поезда соответственно (в м/с).
• $S = 700$ м — начальное расстояние между поездами.
• $t_{встр} = 28$ с — время, через которое поезда встретились.
• $\Delta t = 35$ с — разница во времени, за которое поезда проезжают мимо светофора.

1. Нахождение суммы скоростей поездов

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.

Расстояние, которое они суммарно проходят до момента встречи (когда их головы поравнялись), равно начальному расстоянию между ними $S$. Используем формулу пути: $S = v_{сбл} \cdot t_{встр}$.

Подставим известные значения:

$700 = (v_1 + v_2) \cdot 28$

Отсюда найдем сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{700}{28} = 25$ м/с.

Это первое уравнение нашей системы.

2. Составление второго уравнения

Время, необходимое поезду для проезда мимо неподвижного объекта (светофора), определяется как отношение длины поезда к его скорости: $t = \frac{L}{v}$.

Для первого поезда: $t_1 = \frac{L_1}{v_1} = \frac{490}{v_1}$.

Для второго поезда: $t_2 = \frac{L_2}{v_2} = \frac{210}{v_2}$.

По условию, один из них проезжает мимо светофора на 35 секунд быстрее другого. Это означает, что разница времен $t_1$ и $t_2$ составляет 35 с:

$|t_1 - t_2| = 35$, или $|\frac{490}{v_1} - \frac{210}{v_2}| = 35$.

Это дает нам два возможных случая:

1. $\frac{490}{v_1} - \frac{210}{v_2} = 35$
2. $\frac{210}{v_2} - \frac{490}{v_1} = 35$

Разделим оба уравнения на 35 для упрощения:

1. $\frac{14}{v_1} - \frac{6}{v_2} = 1$
2. $\frac{6}{v_2} - \frac{14}{v_1} = 1$

3. Решение системы уравнений

Мы имеем систему из двух уравнений. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 25 \\ \frac{14}{v_1} - \frac{6}{v_2} = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2 = 25 - v_1$ и подставим во второе:

$\frac{14}{v_1} - \frac{6}{25 - v_1} = 1$

Приведем к общему знаменателю $v_1(25 - v_1)$:

$14(25 - v_1) - 6v_1 = v_1(25 - v_1)$

$350 - 14v_1 - 6v_1 = 25v_1 - v_1^2$

$350 - 20v_1 = 25v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$v_1^2 - 45v_1 + 350 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 350 = 2025 - 1400 = 625 = 25^2$

Найдем корни:

$v_{1,1} = \frac{45 + 25}{2} = \frac{70}{2} = 35$

$v_{1,2} = \frac{45 - 25}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Теперь найдем соответствующие значения $v_2$:

• Если $v_1 = 35$ м/с, то $v_2 = 25 - 35 = -10$ м/с. Скорость не может быть отрицательной, поэтому это решение не подходит.
• Если $v_1 = 10$ м/с, то $v_2 = 25 - 10 = 15$ м/с. Это физически возможное решение.

Таким образом, скорости поездов равны 10 м/с и 15 м/с.

Случай 2:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 25 \\ \frac{6}{v_2} - \frac{14}{v_1} = 1 \end{cases}$

Подставляем $v_2 = 25 - v_1$:

$\frac{6}{25 - v_1} - \frac{14}{v_1} = 1$

$6v_1 - 14(25 - v_1) = v_1(25 - v_1)$

$6v_1 - 350 + 14v_1 = 25v_1 - v_1^2$

$20v_1 - 350 = 25v_1 - v_1^2$

$v_1^2 - 5v_1 - 350 = 0$

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-350) = 25 + 1400 = 1425$

Поскольку $\sqrt{1425}$ является иррациональным числом, решения для скоростей будут иррациональными. В задачах такого типа обычно предполагается рациональный ответ, поэтому мы принимаем решение, полученное в первом случае.

Проверка решения:

Проверим найденные скорости $v_1=10$ м/с и $v_2=15$ м/с.

1. Сумма скоростей: $10 + 15 = 25$ м/с. Время встречи: $t_{встр} = \frac{700}{25} = 28$ с. Соответствует условию.
2. Время проезда мимо светофора:
   • Первый поезд (длиной 490 м, если его скорость 10 м/с): $t_1 = \frac{490}{10} = 49$ с.
   • Второй поезд (длиной 210 м, если его скорость 15 м/с): $t_2 = \frac{210}{15} = 14$ с.
   Разница времен: $t_1 - t_2 = 49 - 14 = 35$ с. Соответствует условию.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: скорость одного поезда 10 м/с, скорость другого поезда 15 м/с.