Номер 37.27, страница 188 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.27. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} x - y = 0, \\ x^2 - y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 8, \\ x - y = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ y = \frac{1}{x}. \end{cases}$

а) Чтобы решить систему уравнений $ \begin{cases} x - y = 0, \\ x^2 - y = 0 \end{cases} $ графически, нужно построить графики для каждого уравнения и найти их точки пересечения.
Первое уравнение $x - y = 0$ можно представить в виде $y = x$. Это график прямой, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей.
Второе уравнение $x^2 - y = 0$ можно представить в виде $y = x^2$. Это график параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
Построим оба графика на одной координатной плоскости. Точки, в которых прямая и парабола пересекаются, являются решениями системы. Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Ответ: $(0, 0), (1, 1)$.

б) Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 8, \\ x - y = 0 \end{cases} $ графическим методом, построим графики, соответствующие каждому уравнению.
Первое уравнение $x^2 + y^2 = 8$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Второе уравнение $x - y = 0$ эквивалентно $y = x$. Это прямая, проходящая через начало координат, являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.
Построим окружность и прямую в одной системе координат. Прямая проходит через центр окружности, поэтому пересекает ее в двух точках, которые являются концами одного из диаметров. Координаты этих точек пересечения являются решениями системы. Из графика видно, что это точки $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.

Ответ: $(2, 2), (-2, -2)$.

в) Решим графически систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ y = \frac{1}{x} \end{cases} $. Для этого найдем точки пересечения графиков этих уравнений.
Первое уравнение $x^2 + y^2 = 2$ задает окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{2}$.
Второе уравнение $y = \frac{1}{x}$ задает гиперболу, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами для этой гиперболы.
Построим окружность и гиперболу на одной координатной плоскости. Из графика видно, что они пересекаются в двух точках. Одна точка находится в первой четверти, другая — в третьей. Координаты этих точек: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Ответ: $(1, 1), (-1, -1)$.