Номер 37.30, страница 188 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.30*. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ x^2 y^2 = 16 \end{cases} $ методом замены переменной (замена $x^2 = t, y^2 = m$).

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ x^2 y^2 = 16\end{cases}$

Для решения системы используем метод замены переменной, как указано в условии.

Введение новых переменных

Пусть $t = x^2$ и $m = y^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, должны выполняться условия $t \ge 0$ и $m \ge 0$.

После подстановки новых переменных в исходную систему, получим новую систему относительно $t$ и $m$:

$\begin{cases} t + m = 17, \\ t \cdot m = 16\end{cases}$

Решение системы для новых переменных

Согласно обратной теореме Виета, переменные $t$ и $m$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (t+m)z + tm = 0$. Подставив значения из нашей системы, получаем уравнение:

$z^2 - 17z + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225 = 15^2$

Теперь найдем корни уравнения:

$z_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Таким образом, мы имеем две возможные пары значений для $(t; m)$, которые обе удовлетворяют условию неотрицательности:

1. $t = 1$, $m = 16$

2. $t = 16$, $m = 1$

Обратная замена и нахождение решений

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого из двух случаев, чтобы найти значения $x$ и $y$.

Случай 1: $t = 1$ и $m = 16$.

$x^2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} \implies x = \pm 1$.
$y^2 = 16 \implies y = \pm\sqrt{16} \implies y = \pm 4$.

Комбинируя эти значения, получаем четыре решения: $(1; 4)$, $(1; -4)$, $(-1; 4)$, $(-1; -4)$.

Случай 2: $t = 16$ и $m = 1$.

$x^2 = 16 \implies x = \pm\sqrt{16} \implies x = \pm 4$.
$y^2 = 1 \implies y = \pm\sqrt{1} \implies y = \pm 1$.

Это дает нам еще четыре решения: $(4; 1)$, $(4; -1)$, $(-4; 1)$, $(-4; -1)$.

Объединяя все найденные пары, получаем полный набор решений исходной системы уравнений.

Ответ: $(1; 4)$, $(1; -4)$, $(-1; 4)$, $(-1; -4)$, $(4; 1)$, $(4; -1)$, $(-4; 1)$, $(-4; -1)$.