Номер 37.37, страница 189 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.37*. Работу выполняли два слесаря, причем второй слесарь приступил к работе на 1 ч позже. Через 3 ч после начала работы им осталось выполнить $\frac{9}{20}$ всей работы. После окончания работы оказалось, что каждый слесарь выполнил половину всей работы. За сколько часов каждый слесарь, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Пусть $x$ часов — время, за которое первый слесарь может выполнить всю работу, работая отдельно, а $y$ часов — время, за которое второй слесарь может выполнить всю работу, работая отдельно.

Тогда производительность первого слесаря равна $\frac{1}{x}$ работы в час, а производительность второго — $\frac{1}{y}$ работы в час.

1. Составление первого уравнения.

Из условия известно, что второй слесарь приступил к работе на 1 час позже. Через 3 часа после начала работы первый слесарь работал 3 часа, а второй — $3 - 1 = 2$ часа. За это время они выполнили некоторую часть работы. Им осталось выполнить $\frac{9}{20}$ всей работы, значит, они выполнили $1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$ всей работы.

Работа, выполненная первым слесарем за 3 часа, равна $3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.

Работа, выполненная вторым слесарем за 2 часа, равна $2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{y}$.

Их совместная работа за это время составляет $\frac{11}{20}$. Получаем первое уравнение: $$ \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = \frac{11}{20} $$

2. Составление второго уравнения.

После окончания работы оказалось, что каждый слесарь выполнил половину всей работы, то есть по $\frac{1}{2}$ работы.

Время, которое потребовалось первому слесарю, чтобы выполнить свою половину работы, равно $t_1 = \frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}$ часов.

Время, которое потребовалось второму слесарю, чтобы выполнить свою половину работы, равно $t_2 = \frac{1/2}{1/y} = \frac{y}{2}$ часов.

Поскольку второй слесарь приступил к работе на 1 час позже (и, следовательно, работал на 1 час меньше), то разница во времени их работы составляет 1 час: $t_1 - t_2 = 1$.

Получаем второе уравнение: $$ \frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 1 $$ Умножим обе части на 2, чтобы упростить: $$ x - y = 2 \implies x = y + 2 $$

3. Решение системы уравнений.

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое: $$ \frac{3}{y+2} + \frac{2}{y} = \frac{11}{20} $$

Приведем левую часть к общему знаменателю $y(y+2)$: $$ \frac{3y + 2(y+2)}{y(y+2)} = \frac{11}{20} $$ $$ \frac{3y + 2y + 4}{y^2 + 2y} = \frac{11}{20} $$ $$ \frac{5y + 4}{y^2 + 2y} = \frac{11}{20} $$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $$ 20(5y + 4) = 11(y^2 + 2y) $$ $$ 100y + 80 = 11y^2 + 22y $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$ 11y^2 + 22y - 100y - 80 = 0 $$ $$ 11y^2 - 78y - 80 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-78)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-80) = 6084 + 3520 = 9604 $$ Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{9604} = 98$.

Найдем корни уравнения: $$ y_1 = \frac{-(-78) + 98}{2 \cdot 11} = \frac{78 + 98}{22} = \frac{176}{22} = 8 $$ $$ y_2 = \frac{-(-78) - 98}{2 \cdot 11} = \frac{78 - 98}{22} = \frac{-20}{22} = -\frac{10}{11} $$

Поскольку $y$ представляет время, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $y_2$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, время работы второго слесаря $y = 8$ часов.

Теперь найдем время работы первого слесаря, используя соотношение $x = y + 2$: $$ x = 8 + 2 = 10 $$ Таким образом, первому слесарю для выполнения всей работы требуется 10 часов, а второму — 8 часов.

Ответ: первый слесарь, работая отдельно, может выполнить всю работу за 10 часов, а второй — за 8 часов.