Номер 38.3, страница 191 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.3. Найдите все значения переменной, для которых:

a) $(9 - x)(x - 3)(x + 5) \ge 0;$

б) $(x - 7)(3x - 2)(5 - x) \le 0;$

в) $(1 - x)(2 - 5x)(x - 9) > 0;$

г) $-(7 - x)(3 - x)(4 - 5x) < 0.$

а) Для решения неравенства $(9-x)(x-3)(x+5) \ge 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули функции $f(x) = (9-x)(x-3)(x+5)$. Приравняем каждый множитель к нулю: $9-x=0 \implies x_1=9$
$x-3=0 \implies x_2=3$
$x+5=0 \implies x_3=-5$
Приведем неравенство к стандартному виду, в котором коэффициент при $x$ в каждом множителе положителен. Заменим $(9-x)$ на $-(x-9)$.
Получим: $-(x-9)(x-3)(x+5) \ge 0$.
Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $(x-9)(x-3)(x+5) \le 0$.
Отметим корни $-5, 3, 9$ на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения $(x-9)(x-3)(x+5)$ в каждом интервале.
- При $x \in (9, +\infty)$ выражение положительно.
- При $x \in (3, 9)$ выражение отрицательно.
- При $x \in (-5, 3)$ выражение положительно.
- При $x \in (-\infty, -5)$ выражение отрицательно.
Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Так как неравенство нестрогое, сами корни являются частью решения.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [3, 9]$.

б) Решим неравенство $(x-7)(3x-2)(5-x) \le 0$ методом интервалов. Найдем корни, приравняв каждый множитель к нулю:
$x-7=0 \implies x_1=7$
$3x-2=0 \implies x_2=2/3$
$5-x=0 \implies x_3=5$
Приведем множитель $(5-x)$ к стандартному виду: $-(x-5)$.
Неравенство принимает вид: $(x-7)(3x-2)(-(x-5)) \le 0$, или $-(x-7)(3x-2)(x-5) \le 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак: $(x-7)(3x-2)(x-5) \ge 0$.
Отметим корни $2/3, 5, 7$ на числовой оси и определим знаки выражения $(x-7)(3x-2)(x-5)$ на полученных интервалах.
- При $x \in (7, +\infty)$ выражение положительно.
- При $x \in (5, 7)$ выражение отрицательно.
- При $x \in (2/3, 5)$ выражение положительно.
- При $x \in (-\infty, 2/3)$ выражение отрицательно.
Нас интересуют значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в ответ.

Ответ: $x \in [2/3, 5] \cup [7, \infty)$.

в) Решим неравенство $(1-x)(2-5x)(x-9) > 0$. Найдем корни:
$1-x=0 \implies x_1=1$
$2-5x=0 \implies x_2=2/5$
$x-9=0 \implies x_3=9$
Приведем множители к стандартному виду: $(1-x) = -(x-1)$ и $(2-5x) = -(5x-2)$.
Неравенство принимает вид: $(-(x-1))(-(5x-2))(x-9) > 0$.
Произведение двух отрицательных множителей дает положительный, поэтому: $(x-1)(5x-2)(x-9) > 0$.
Отметим корни $2/5, 1, 9$ на числовой оси и определим знаки выражения.
- При $x \in (9, +\infty)$ выражение положительно.
- При $x \in (1, 9)$ выражение отрицательно.
- При $x \in (2/5, 1)$ выражение положительно.
- При $x \in (-\infty, 2/5)$ выражение отрицательно.
Нам нужны значения $x$, при которых выражение строго больше нуля. Неравенство строгое, поэтому корни не входят в решение.

Ответ: $x \in (2/5, 1) \cup (9, \infty)$.

г) Решим неравенство $-(7-x)(3-x)(4-5x) < 0$. Сначала умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $(7-x)(3-x)(4-5x) > 0$.
Найдем корни:
$7-x=0 \implies x_1=7$
$3-x=0 \implies x_2=3$
$4-5x=0 \implies x_3=4/5$
Приведем все множители к стандартному виду: $(7-x)=-(x-7)$, $(3-x)=-(x-3)$, $(4-5x)=-(5x-4)$.
Неравенство становится: $(-(x-7))(-(x-3))(-(5x-4)) > 0$.
Это эквивалентно $-(x-7)(x-3)(5x-4) > 0$.
Снова умножим на $-1$ и изменим знак: $(x-7)(x-3)(5x-4) < 0$.
Отметим корни $4/5, 3, 7$ на числовой оси и определим знаки.
- При $x \in (7, +\infty)$ выражение положительно.
- При $x \in (3, 7)$ выражение отрицательно.
- При $x \in (4/5, 3)$ выражение положительно.
- При $x \in (-\infty, 4/5)$ выражение отрицательно.
Нам нужны значения $x$, при которых выражение строго меньше нуля. Неравенство строгое, корни не включаются.

Ответ: $x \in (-\infty, 4/5) \cup (3, 7)$.