Номер 38.6, страница 191 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.6. Найдите сумму наименьшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решений неравенства $(8-x)(3x-1)(x+5)(x-11)>0. \left[ x(x-5)(2x-7) \le 0.\right.$

Для решения неравенства $(8-x)(3x-1)(x+5)(x-11) > 0$ воспользуемся методом интервалов. В первую очередь приведем неравенство к стандартному виду, в котором коэффициент при переменной $x$ в каждой скобке положителен. Множитель $(8-x)$ можно переписать как $-(x-8)$, тогда неравенство принимает вид $-(x-8)(3x-1)(x+5)(x-11) > 0$. Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак на противоположный:

$(x-8)(3x-1)(x+5)(x-11) < 0$

Далее найдем корни левой части, решив уравнение $(x-8)(3x-1)(x+5)(x-11) = 0$. Корнями являются числа, обращающие каждый из множителей в ноль: $x_1 = 8$, $x_2 = \frac{1}{3}$, $x_3 = -5$, $x_4 = 11$.

Отметим эти корни на числовой прямой в порядке возрастания: -5, $\frac{1}{3}$, 8, 11. Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов. Определим знаки выражения в каждом интервале. В крайнем правом интервале $(11; +\infty)$ выражение положительно. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки на интервалах чередуются: $(-\infty; -5) \implies +$, $(-5; \frac{1}{3}) \implies -$, $(\frac{1}{3}; 8) \implies +$, $(8; 11) \implies -$, $(11; +\infty) \implies +$.

Мы ищем значения $x$, для которых выражение меньше нуля. Следовательно, решением неравенства является объединение интервалов, где стоит знак минус:

$x \in (-5; \frac{1}{3}) \cup (8; 11)$

Теперь, согласно условию задачи, найдем наименьшее целое отрицательное и наименьшее целое положительное решения.

Наименьшее целое отрицательное решение
Целые числа, принадлежащие интервалу $(-5; \frac{1}{3})$, это: -4, -3, -2, -1, 0. Среди них отрицательными являются -4, -3, -2, -1. Наименьшее из них — это -4.

Наименьшее целое положительное решение
В интервале $(-5; \frac{1}{3})$ нет положительных целых чисел. В интервале $(8; 11)$ содержатся целые числа 9 и 10. Наименьшее из них — это 9.

Найдем сумму найденных решений: $-4 + 9 = 5$.

Ответ: 5