Номер 38.12, страница 192 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.12. Найдите промежутки знакопостоянства функции

$f(x) = (x^2 + 16)(x^2 - 4x + 3)(x - 6)^2$

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции $f(x) = (x^2 + 16)(x^2 - 4x + 3)(x - 6)^2$ необходимо найти ее нули (точки, в которых функция равна нулю) и определить знак функции на интервалах, на которые эти нули разбивают числовую ось.

1. Нахождение нулей функции.

Приравняем функцию к нулю, чтобы найти ее корни:

$f(x) = (x^2 + 16)(x^2 - 4x + 3)(x - 6)^2 = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель отдельно:

• $x^2 + 16 = 0$. Уравнение $x^2 = -16$ не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
• $x^2 - 4x + 3 = 0$. Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
• $(x - 6)^2 = 0$. Отсюда следует, что $x - 6 = 0$, то есть $x_3 = 6$.

Таким образом, функция $f(x)$ обращается в ноль в точках $x = 1$, $x = 3$ и $x = 6$.

2. Определение знаков функции на интервалах.

Нули функции $1, 3, 6$ разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$, $(3, 6)$ и $(6, \infty)$. Для определения знака функции на каждом из этих интервалов используем метод интервалов, проанализировав знак каждого множителя в выражении для $f(x)$.

• Множитель $(x^2 + 16)$ всегда положителен для любого действительного числа $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 16 \ge 16 > 0$.
• Множитель $(x - 6)^2$ является полным квадратом, поэтому он всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=6$ и строго положителен при всех $x \neq 6$.
• Таким образом, знак функции $f(x)$ при $x \neq 6$ совпадает со знаком множителя $(x^2 - 4x + 3)$.

График функции $y = x^2 - 4x + 3$ — это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), пересекающая ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=3$. Следовательно:

• $(x^2 - 4x + 3) > 0$ на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(3, \infty)$.
• $(x^2 - 4x + 3) < 0$ на интервале $(1, 3)$.

Теперь мы можем определить знак $f(x)$ на каждом интервале:

• На интервале $(-\infty, 1)$: $(x^2 - 4x + 3) > 0$, следовательно $f(x) > 0$.
• На интервале $(1, 3)$: $(x^2 - 4x + 3) < 0$, следовательно $f(x) < 0$.
• На интервале $(3, 6)$: $(x^2 - 4x + 3) > 0$, следовательно $f(x) > 0$.
• На интервале $(6, \infty)$: $(x^2 - 4x + 3) > 0$, следовательно $f(x) > 0$.

Заметим, что при переходе через корень $x=6$ (корень четной кратности 2) знак функции не меняется.

Итоговые промежутки знакопостоянства:

Функция положительна, $f(x) > 0$, при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$.

Функция отрицательна, $f(x) < 0$, при $x \in (1, 3)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (1, 3)$.