Номер 38.11, страница 192 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.11. Решите совокупность неравенств:

а) $\left[ \begin{array}{l} (x^2 - 10x + 25)(x - 6) \ge 0, \\ (x - 6)(x + 7) < 0; \end{array} \right.$

б) $\left[ \begin{array}{l} (25x^2 + 10x + 1)(x^2 - 9) > 0, \\ \frac{x}{x + 3} \le 0. \end{array} \right.$

Решим совокупность неравенств: $ \left[ \begin{array}{l} (x^2 - 10x + 25)(x - 6) \ge 0, \\ (x - 6)(x + 7) < 0. \end{array} \right. $

Рассмотрим первое неравенство: $(x^2 - 10x + 25)(x - 6) \ge 0$.
Заметим, что выражение $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом: $x^2 - 2 \cdot 5x + 5^2 = (x - 5)^2$.
Неравенство принимает вид: $(x - 5)^2(x - 6) \ge 0$.

Поскольку множитель $(x - 5)^2 \ge 0$ для любого значения $x$, рассмотрим два случая:
1. Если $(x - 5)^2 = 0$, то есть $x = 5$, неравенство становится $0 \cdot (5-6) \ge 0$, что равно $0 \ge 0$. Это верное утверждение, значит, $x = 5$ является решением.
2. Если $(x - 5)^2 > 0$, то есть $x \ne 5$, можно разделить обе части неравенства на положительное число $(x - 5)^2$, не меняя знака неравенства. Получим: $x - 6 \ge 0$, откуда $x \ge 6$.
Объединяя эти два случая, получаем решение первого неравенства: $x \in \{5\} \cup [6; +\infty)$.

Рассмотрим второе неравенство: $(x - 6)(x + 7) < 0$.
Это квадратичное неравенство. Корнями соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 7) = 0$ являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -7$. Графиком функции $y = (x - 6)(x + 7)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны (меньше нуля) между корнями.
Следовательно, решение второго неравенства: $-7 < x < 6$, или $x \in (-7; 6)$.

Решением совокупности является объединение множеств решений обоих неравенств: $(\{5\} \cup [6; +\infty)) \cup (-7; 6)$.
Объединяя интервал $(-7; 6)$ с точкой $x=5$ (которая уже входит в этот интервал) и с лучом $[6; +\infty)$, получаем итоговое множество $x \in (-7; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-7; +\infty)$.

Решим совокупность неравенств: $ \left[ \begin{array}{l} (25x^2 + 10x + 1)(x^2 - 9) > 0, \\ \frac{x}{x + 3} \le 0. \end{array} \right. $

Рассмотрим первое неравенство: $(25x^2 + 10x + 1)(x^2 - 9) > 0$.
Разложим выражения в скобках на множители. $25x^2 + 10x + 1 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = (5x + 1)^2$. Выражение $x^2 - 9$ является разностью квадратов: $x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.
Неравенство принимает вид: $(5x + 1)^2(x - 3)(x + 3) > 0$.

Множитель $(5x + 1)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое (больше нуля), случай равенства нулю нужно исключить. То есть $(5x + 1)^2 \ne 0 \Rightarrow 5x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1/5$.
При $x \ne -1/5$ множитель $(5x + 1)^2$ строго положителен, поэтому можно разделить на него обе части неравенства, сохранив знак: $(x - 3)(x + 3) > 0$.
Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни: $x=3$ и $x=-3$. Они разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$. Выражение положительно вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$. Условие $x \ne -1/5$ уже выполнено, так как точка $-1/5$ не входит в эти интервалы.

Рассмотрим второе неравенство: $\frac{x}{x+3} \le 0$.
Решим его методом интервалов. Нуль числителя: $x = 0$. Нуль знаменателя: $x = -3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \ne -3$.
Отметим точки на числовой прямой: $x=-3$ (выколотая) и $x=0$ (закрашенная, так как неравенство нестрогое).
Определим знаки дроби на полученных интервалах: при $x > 0$ дробь положительна; при $-3 < x < 0$ дробь отрицательна; при $x < -3$ дробь положительна.
Нас интересует, где выражение меньше или равно нулю. Это происходит при $x \in (-3; 0]$.

Решением совокупности является объединение решений двух неравенств:
$(-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \cup (-3; 0]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0] \cup (3; +\infty)$.