Номер 38.5, страница 191 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.5. Используйте метод интервалов для решения каждого неравенства системы и решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} (x - 3)(x - 5)(x - 7) < 0, \\ (x + 2)(x - 4) \ge 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{x - 4} \le 0, \\ x(x - 5) > 0; \end{cases}$

B) $\begin{cases} \frac{(x + 7)(x + 10)}{x - 4} \le 0, \\ \frac{x + 10}{(x - 7)(x - 3)} \ge 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $(x-3)(x-5)(x-7) < 0$ методом интервалов.

Находим корни левой части: $x_1=3, x_2=5, x_3=7$.

Отмечаем эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми.

Определяем знаки выражения $(x-3)(x-5)(x-7)$ в каждом интервале:

• Интервал $(7, +\infty)$: при $x=8$, $(8-3)(8-5)(8-7) > 0$. Знак «+».
• Интервал $(5, 7)$: при $x=6$, $(6-3)(6-5)(6-7) < 0$. Знак «-».
• Интервал $(3, 5)$: при $x=4$, $(4-3)(4-5)(4-7) > 0$. Знак «+».
• Интервал $(-\infty, 3)$: при $x=0$, $(-3)(-5)(-7) < 0$. Знак «-».

Нас интересуют интервалы со знаком «-», так как неравенство $< 0$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 3) \cup (5, 7)$.

2. Решим второе неравенство $(x+2)(x-4) \ge 0$ методом интервалов.

Находим корни левой части: $x_1=-2, x_2=4$.

Отмечаем эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, точки будут закрашенными.

График функции $y=(x+2)(x-4)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, выражение положительно вне интервала между корнями и отрицательно между ними.

• Интервалы $(-\infty, -2]$ и $[4, +\infty)$: выражение $\ge 0$.
• Интервал $[-2, 4]$: выражение $\le 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение $\ge 0$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [4, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств, чтобы получить решение системы.

Решение 1: $x \in (-\infty, 3) \cup (5, 7)$.

Решение 2: $x \in (-\infty, -2] \cup [4, +\infty)$.

Пересечение этих множеств: $x \in (-\infty, -2] \cup (5, 7)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup (5, 7)$.

б) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $\frac{x}{x-4} \le 0$ методом интервалов.

Находим нуль числителя: $x=0$.

Находим нуль знаменателя: $x=4$.

Отмечаем точки на числовой прямой. Точка $x=0$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=4$ выколотая (знаменатель не может быть равен нулю).

Определяем знаки выражения $\frac{x}{x-4}$ в каждом интервале:

• Интервал $(4, +\infty)$: при $x=5$, $\frac{5}{5-4} > 0$. Знак «+».
• Интервал $(0, 4)$: при $x=1$, $\frac{1}{1-4} < 0$. Знак «-».
• Интервал $(-\infty, 0)$: при $x=-1$, $\frac{-1}{-1-4} > 0$. Знак «+».

Нас интересует интервал со знаком «-» и точка, где выражение равно нулю.

Решение первого неравенства: $x \in [0, 4)$.

2. Решим второе неравенство $x(x-5) > 0$ методом интервалов.

Находим корни левой части: $x_1=0, x_2=5$.

Отмечаем точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки выколотые.

График функции $y=x(x-5)$ — парабола с ветвями вверх. Выражение положительно вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (5, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение 1: $x \in [0, 4)$.

Решение 2: $x \in (-\infty, 0) \cup (5, +\infty)$.

Множества $[0, 4)$ и $(-\infty, 0) \cup (5, +\infty)$ не имеют общих точек. Точка $x=0$ входит в первое множество, но не входит во второе. Других общих точек нет.

Следовательно, пересечение множеств пусто.

Ответ: $x \in \emptyset$ (нет решений).

в) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $\frac{(x+7)(x+10)}{x-4} \le 0$ методом интервалов.

Находим нули числителя: $x=-7, x=-10$.

Находим нуль знаменателя: $x=4$.

Отмечаем точки на числовой прямой. Точки $x=-10$ и $x=-7$ закрашенные, точка $x=4$ выколотая.

Определяем знаки выражения в каждом интервале:

• Интервал $(4, +\infty)$: при $x=5$, $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак «+».
• Интервал $(-7, 4)$: при $x=0$, $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$. Знак «-».
• Интервал $(-10, -7)$: при $x=-8$, $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$. Знак «+».
• Интервал $(-\infty, -10)$: при $x=-11$, $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Знак «-».

Нас интересуют интервалы со знаком «-» и точки, где числитель равен нулю.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -10] \cup [-7, 4)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x+10}{(x-7)(x-3)} > 0$ методом интервалов.

Находим нуль числителя: $x=-10$.

Находим нули знаменателя: $x=3, x=7$.

Отмечаем все точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, все точки выколотые.

Определяем знаки выражения в каждом интервале:

• Интервал $(7, +\infty)$: при $x=8$, $\frac{(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак «+».
• Интервал $(3, 7)$: при $x=4$, $\frac{(+)}{(-)(+)} < 0$. Знак «-».
• Интервал $(-10, 3)$: при $x=0$, $\frac{(+)}{(-)(-)} > 0$. Знак «+».
• Интервал $(-\infty, -10)$: при $x=-11$, $\frac{(-)}{(-)(-)} < 0$. Знак «-».

Нас интересуют интервалы со знаком «+».

Решение второго неравенства: $x \in (-10, 3) \cup (7, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение 1: $x \in (-\infty, -10] \cup [-7, 4)$.

Решение 2: $x \in (-10, 3) \cup (7, +\infty)$.

Пересекая эти два множества, получаем:

$((-\infty, -10] \cup [-7, 4)) \cap ((-10, 3) \cup (7, +\infty)) = [-7, 3)$.

Интервал $(-\infty, -10]$ из первого решения не имеет общих точек с $(-10, 3)$, так как точка -10 не входит во второе множество.

Пересечение $[-7, 4)$ и $(-10, 3)$ дает интервал $[-7, 3)$.

Пересечение с $(7, +\infty)$ пустое.

Ответ: $x \in [-7, 3)$.