Номер 38.1, страница 190 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.1. Решите неравенство, используя метод интервалов:

а) $(x-3)(x-5)(x-8)<0;$

б) $(x+4)(x+1)(x-7)>0;$

в) $x(3x-1)(x-3)\le0;$

г) $5x(7x+2)(5x-1)\ge0.$

а) $(x - 3)(x - 5)(x - 8) < 0$

Для решения неравенства методом интервалов найдем нули выражения в левой части. Для этого приравняем каждый множитель к нулю:
$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$
$x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$
$x - 8 = 0 \implies x_3 = 8$

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($<0$), точки будут выколотыми (не входящими в решение). Эти точки разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; 3)$, $(3; 5)$, $(5; 8)$ и $(8; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 3)(x - 5)(x - 8)$ в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x = 10$:
$(10 - 3)(10 - 5)(10 - 8) = 7 \cdot 5 \cdot 2 = 70 > 0$. Значит, в интервале $(8; +\infty)$ выражение положительно.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, получаем знаки: $+$, $-$, $+$, $-$.
$(-\infty; 3)$: $-$
$(3; 5)$: $+$
$(5; 8)$: $-$
$(8; +\infty)$: $+$

По условию, нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это соответствует интервалам со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (5; 8)$

б) $(x + 4)(x + 1)(x - 7) > 0$

Найдем нули выражения в левой части:
$x + 4 = 0 \implies x_1 = -4$
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
$x - 7 = 0 \implies x_3 = 7$

Отметим точки $-4, -1, 7$ на числовой оси. Неравенство строгое ($>0$), поэтому точки выколотые. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -1)$, $(-1; 7)$ и $(7; +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв $x=10$:
$(10 + 4)(10 + 1)(10 - 7) = 14 \cdot 11 \cdot 3 > 0$. Знак "+".

Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки чередуются. Расставляем знаки справа налево: $+$, $-$, $+$, $-$.
$(-\infty; -4)$: $-$
$(-4; -1)$: $+$
$(-1; 7)$: $-$
$(7; +\infty)$: $+$

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше нуля. Это интервалы со знаком "плюс".
Ответ: $x \in (-4; -1) \cup (7; +\infty)$

в) $x(3x - 1)(x - 3) \le 0$

Найдем нули выражения в левой части:
$x = 0 \implies x_1 = 0$
$3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{3}$
$x - 3 = 0 \implies x_3 = 3$

Отметим точки $0, \frac{1}{3}, 3$ на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\le 0$), поэтому точки будут закрашенными (входят в решение). Точки разбивают ось на интервалы, включая концы: $(-\infty; 0]$, $[0; \frac{1}{3}]$, $[\frac{1}{3}; 3]$ и $[3; +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x=4$:
$4(3 \cdot 4 - 1)(4 - 3) = 4 \cdot 11 \cdot 1 > 0$. Знак "+".

Знаки чередуются: $+$, $-$, $+$, $-$.
$(-\infty; 0]$: $-$
$[0; \frac{1}{3}]$: $+$
$[\frac{1}{3}; 3]$: $-$
$[3; +\infty)$: $+$

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком "минус" и сами точки.
Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [\frac{1}{3}; 3]$

г) $5x(7x + 2)(5x - 1) \ge 0$

Поскольку $5 > 0$, можно разделить обе части неравенства на 5, знак неравенства не изменится:
$x(7x + 2)(5x - 1) \ge 0$

Найдем нули выражения:
$x = 0 \implies x_1 = 0$
$7x + 2 = 0 \implies 7x = -2 \implies x_2 = -\frac{2}{7}$
$5x - 1 = 0 \implies 5x = 1 \implies x_3 = \frac{1}{5}$

Отметим точки $-\frac{2}{7}, 0, \frac{1}{5}$ на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\ge 0$), поэтому точки закрашенные. Они разбивают ось на интервалы, включая концы: $(-\infty; -\frac{2}{7}]$, $[-\frac{2}{7}; 0]$, $[0; \frac{1}{5}]$ и $[\frac{1}{5}; +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x=1$:
$1(7 \cdot 1 + 2)(5 \cdot 1 - 1) = 1 \cdot 9 \cdot 4 > 0$. Знак "+".

Знаки чередуются: $+$, $-$, $+$, $-$.
$(-\infty; -\frac{2}{7}]$: $-$
$[-\frac{2}{7}; 0]$: $+$
$[0; \frac{1}{5}]$: $-$
$[\frac{1}{5}; +\infty)$: $+$

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "плюс" и сами точки.
Ответ: $x \in [-\frac{2}{7}; 0] \cup [\frac{1}{5}; +\infty)$