Номер 37.38, страница 190 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.38*. Решите графически систему уравнений

$ \begin{cases} y - x^2 + 6x = 9, \\ x^2 - 2y + y^2 = 0. \end{cases} $

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики для каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков являются решениями системы.

Анализ первого уравнения: $y - x^2 + 6x = 9$

Преобразуем уравнение, чтобы определить вид графика. Выразим $y$:

$y = x^2 - 6x + 9$

Это уравнение является квадратичной функцией, график которой — парабола. Для удобства построения выделим полный квадрат:

$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2)$

$y = (x - 3)^2$

Графиком этого уравнения является парабола, полученная смещением графика $y=x^2$ на 3 единицы вправо. Ее вершина находится в точке $(3, 0)$, ветви направлены вверх, а осью симметрии является прямая $x = 3$.

Анализ второго уравнения: $x^2 - 2y + y^2 = 0$

Преобразуем это уравнение, чтобы определить вид его графика. Выделим полный квадрат относительно переменной $y$:

$x^2 + (y^2 - 2y) = 0$

Для выделения полного квадрата прибавим и вычтем 1:

$x^2 + (y^2 - 2y + 1) - 1 = 0$

$x^2 + (y - 1)^2 = 1$

Это каноническое уравнение окружности вида $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. В данном случае центр окружности находится в точке $(0, 1)$, а ее радиус $R = \sqrt{1} = 1$.

Построение и анализ графиков

Построим графики параболы $y = (x-3)^2$ и окружности $x^2 + (y-1)^2 = 1$ в одной системе координат.

Из уравнения окружности $x^2 + (y-1)^2 = 1$ следует, что любая ее точка $(x, y)$ должна удовлетворять условиям $x^2 \le 1$ и $(y-1)^2 \le 1$. Это означает, что $-1 \le x \le 1$ и $0 \le y \le 2$. Таким образом, вся окружность находится в прямоугольной области, ограниченной этими значениями.

Рассмотрим параболу $y = (x-3)^2$. Поскольку окружность существует только для $y$ в диапазоне $[0, 2]$, найдем, какие значения $x$ на параболе соответствуют этому диапазону $y$.

Если $0 \le y \le 2$, то $0 \le (x-3)^2 \le 2$.

Это неравенство эквивалентно $-\sqrt{2} \le x-3 \le \sqrt{2}$, что дает $3-\sqrt{2} \le x \le 3+\sqrt{2}$.

Используя приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.41$, получаем, что для соответствующей части параболы координата $x$ должна лежать в пределах $[3-1.41, 3+1.41]$, то есть примерно в $[1.59, 4.41]$.

Для того чтобы графики пересекались, должны существовать точки $(x, y)$, которые принадлежат обоим графикам. Это значит, что их координаты $x$ должны принадлежать обоим найденным диапазонам одновременно:

1. Из уравнения окружности: $x \in [-1, 1]$.

2. Из уравнения параболы (для $y \in [0, 2]$): $x \in [3-\sqrt{2}, 3+\sqrt{2}]$.

Поскольку $3-\sqrt{2} > 1$, пересечение этих двух диапазонов для $x$ пусто. Следовательно, графики не имеют общих точек.

Ответ: нет решений.