Номер 37.41, страница 190 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.41*. Решите графически систему уравнений

$\begin{cases}x^2 - 2x + y^2 = 0, \\\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + \sqrt{(x+1)^2 + y^2} = 2.\end{cases}$

Для решения системы уравнений графическим методом, построим графики каждого уравнения в системе координат Oxy и найдем их точки пересечения.

1. Анализ первого уравнения: $x^2 - 2x + y^2 = 0$

Преобразуем уравнение, выделив полный квадрат для переменной $x$:

$x^2 - 2x + 1 - 1 + y^2 = 0$

$(x - 1)^2 + y^2 = 1$

Это каноническое уравнение окружности. Графиком этого уравнения является окружность с центром в точке $C(1, 0)$ и радиусом $R = 1$.

2. Анализ второго уравнения: $\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + \sqrt{(x+1)^2 + y^2} = 2$

Заметим, что выражение $\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}$ — это формула расстояния между точками $(x, y)$ и $(a, b)$.

Тогда $\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$ — это расстояние от произвольной точки $M(x, y)$ до точки $F_1(1, 0)$.

А $\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = \sqrt{(x-(-1))^2 + y^2}$ — это расстояние от той же точки $M(x, y)$ до точки $F_2(-1, 0)$.

Уравнение можно переписать так: $d(M, F_1) + d(M, F_2) = 2$.

Это уравнение задает множество точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) $F_1$ и $F_2$ постоянна. Это определение эллипса.

Найдем расстояние между фокусами $F_1$ и $F_2$: $d(F_1, F_2) = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2^2} = 2$.

Сумма расстояний от точки $M$ до фокусов ($d(M, F_1) + d(M, F_2) = 2$) равна расстоянию между фокусами ($d(F_1, F_2) = 2$). Согласно неравенству треугольника, это возможно только в том случае, если точка $M$ лежит на отрезке, соединяющем точки $F_1$ и $F_2$.

Следовательно, графиком второго уравнения является отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. Этот отрезок лежит на оси Ox, и для его точек выполняются условия: $y=0$ и $-1 \le x \le 1$.

3. Нахождение точек пересечения

Чтобы найти решение системы, найдем точки пересечения окружности $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ и отрезка, заданного условиями $y=0$ и $-1 \le x \le 1$.

Подставим $y=0$ в уравнение окружности:

$(x - 1)^2 + 0^2 = 1$

$(x - 1)^2 = 1$

Решая это уравнение, получаем два значения $x$:

$x - 1 = 1 \implies x = 2$

$x - 1 = -1 \implies x = 0$

Окружность пересекает ось Ox в двух точках: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Теперь нужно проверить, какие из этих точек принадлежат отрезку, который является графиком второго уравнения (то есть, для каких из них выполняется условие $-1 \le x \le 1$).

• Для точки $(0, 0)$: $x=0$. Условие $-1 \le 0 \le 1$ выполняется. Значит, эта точка является решением системы.
• Для точки $(2, 0)$: $x=2$. Условие $-1 \le 2 \le 1$ не выполняется. Значит, эта точка не является решением системы.

Таким образом, графики пересекаются только в одной точке.

Ответ: $(0, 0)$