Номер 37.40, страница 190 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.40*. Найдите с помощью графиков, при каких значениях a система уравнений имеет единственное решение:

a) $\begin{cases} y + x = a, \\ x^2 + y^2 = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = |x| + a, \\ x^2 + y^2 = 1. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y + x = a, \\ x^2 + y^2 = 2; \end{cases} $

Для решения задачи графическим методом построим графики обоих уравнений.

Второе уравнение, $x^2 + y^2 = 2$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{2}$. Этот график не зависит от параметра $a$.

Первое уравнение, $y + x = a$, можно переписать в виде $y = -x + a$. Это уравнение задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k = -1$. Параметр $a$ является ординатой точки пересечения прямой с осью $Oy$ и отвечает за вертикальный сдвиг прямой.

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямая и окружность имеют ровно одну общую точку. Геометрически это означает, что прямая должна быть касательной к окружности.

Найдем значения параметра $a$, при которых прямая $y = -x + a$ касается окружности $x^2 + y^2 = 2$.

Способ 1: Геометрический.

Прямая является касательной к окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиусу. Центр окружности — точка $O(0, 0)$, радиус $R = \sqrt{2}$. Уравнение прямой в общем виде: $x + y - a = 0$.

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Подставляем наши значения: $(x_0, y_0) = (0, 0)$, $A=1$, $B=1$, $C=-a$.

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$

Приравниваем расстояние к радиусу: $d = R$.

$\frac{|a|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$|a| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$

Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a=2$ и $a=-2$.

Способ 2: Алгебраический.

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$y = a - x$

$x^2 + (a - x)^2 = 2$

$x^2 + a^2 - 2ax + x^2 = 2$

$2x^2 - 2ax + (a^2 - 2) = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Система имеет единственное решение, если это квадратное уравнение имеет ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант $D$ равен нулю.

$D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 2) = 4a^2 - 8(a^2 - 2) = 4a^2 - 8a^2 + 16 = 16 - 4a^2$

Приравниваем дискриминант к нулю:

$16 - 4a^2 = 0$

$4a^2 = 16$

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

Оба способа дают одинаковый результат. При $a=2$ и $a=-2$ система имеет единственное решение.

Ответ: $a=2, a=-2$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = |x| + a, \\ x^2 + y^2 = 1. \end{cases} $

Проанализируем графики этих уравнений.

Второе уравнение, $x^2 + y^2 = 1$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 1$.

Первое уравнение, $y = |x| + a$, задает график функции $y=|x|$, смещенный на $a$ единиц по вертикали. Этот график представляет собой "галочку" (или "уголок"), симметричную относительно оси $Oy$, с вершиной в точке $(0, a)$.

Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и графика $y = |x| + a$. Проанализируем, как меняется число пересечений в зависимости от значения параметра $a$, который определяет положение вершины "галочки".

• При $a > 1$: вершина $(0, a)$ находится выше верхней точки окружности $(0, 1)$. Весь график $y = |x| + a$ лежит выше окружности, поэтому точек пересечения нет. Система не имеет решений.
• При $a = 1$: вершина $(0, a)$ совпадает с верхней точкой окружности $(0, 1)$. График касается окружности в одной точке $(0, 1)$. Это единственная точка пересечения. Система имеет одно решение.
• При $-1 < a < 1$: вершина $(0, a)$ находится внутри окружности. Каждая из двух ветвей "галочки" ($y=x+a$ и $y=-x+a$) пересекает окружность в одной точке. Всего получается две точки пересечения. Система имеет два решения.
• При $a = -1$: вершина $(0, a)$ совпадает с нижней точкой окружности $(0, -1)$. Это одна точка пересечения. Кроме того, ветви $y = |x| - 1$ пересекают окружность в точках $(1, 0)$ и $(-1, 0)$. Таким образом, всего три точки пересечения. Система имеет три решения.
• При $-\sqrt{2} < a < -1$: вершина $(0, a)$ находится ниже окружности. Каждая из ветвей $y=x+a$ и $y=-x+a$ пересекает окружность в двух точках. Всего получается четыре точки пересечения. Система имеет четыре решения.
• При $a = -\sqrt{2}$: ветви "галочки" касаются окружности в двух точках. Это происходит, когда расстояние от центра $(0, 0)$ до прямых $y=x-\sqrt{2}$ и $y=-x-\sqrt{2}$ равно радиусу 1. Система имеет два решения.
• При $a < -\sqrt{2}$: весь график $y = |x| + a$ находится ниже окружности, точек пересечения нет. Система не имеет решений.

Из проведенного анализа следует, что система имеет единственное решение только в одном случае.

Ответ: $a=1$.