Номер 38.2, страница 190 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.2. Решите неравенство методом интервалов, используя алгоритм:

а) $\frac{x-3}{x-7} < 0;$

б) $\frac{x-8}{x+5} > 0;$

в) $\frac{x+9}{x-7} \le 0;$

г) $\frac{x+1}{x+4} \ge 0;$

д) $\frac{3x-1}{x-5} \ge 0;$

е) $\frac{2x-7}{4x+8} \le 0;$

ж) $\frac{5x-1}{x} < 0;$

з) $\frac{x}{10x-7} \ge 0.$

а) Решим неравенство $\frac{x-3}{x-7} < 0$ методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Нуль знаменателя: $x - 7 = 0 \implies x = 7$. Отметим точки $3$ и $7$ на числовой оси. Так как неравенство строгое ($<$), обе точки выколотые (не входят в решение). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 3)$, $(3; 7)$ и $(7; \infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале. Для этого возьмем пробную точку из любого интервала, например, $x=8$ из интервала $(7; \infty)$. Подставим в выражение: $\frac{8-3}{8-7} = \frac{5}{1} = 5 > 0$. Значит, на этом интервале знак «+». Так как все корни нечетной кратности, при переходе через точки $7$ и $3$ знак будет меняться на противоположный. Таким образом, знаки на интервалах чередуются: (+), (–), (+). Нас интересуют значения, при которых выражение меньше нуля, то есть интервал со знаком «–». Это интервал $(3; 7)$.
Ответ: $x \in (3; 7)$.

б) Решим неравенство $\frac{x-8}{x+5} > 0$ методом интервалов. Нули числителя: $x - 8 = 0 \implies x = 8$. Нули знаменателя: $x + 5 = 0 \implies x = -5$. Отметим точки $-5$ и $8$ на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>$), обе точки выколотые. Точки разбивают ось на интервалы $(-\infty; -5)$, $(-5; 8)$ и $(8; \infty)$. Определим знак на крайнем правом интервале, взяв $x=10$: $\frac{10-8}{10+5} = \frac{2}{15} > 0$. Знаки на интервалах чередуются: (+), (–), (+). Нас интересуют значения, при которых выражение больше нуля, то есть интервалы со знаком «+».
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (8; \infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{x+9}{x-7} \le 0$ методом интервалов. Нуль числителя: $x + 9 = 0 \implies x = -9$. Нуль знаменателя: $x - 7 = 0 \implies x = 7$. Отметим точки $-9$ и $7$ на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le$), нуль числителя $x=-9$ является закрашенной точкой (входит в решение). Нуль знаменателя $x=7$ всегда выколотая точка. Точки разбивают ось на интервалы $(-\infty; -9]$, $[-9; 7)$ и $(7; \infty)$. Определим знак на крайнем правом интервале, взяв $x=10$: $\frac{10+9}{10-7} = \frac{19}{3} > 0$. Знаки на интервалах чередуются: (+), (–), (+). Нас интересуют значения, при которых выражение меньше или равно нулю, то есть интервал со знаком «–» и закрашенная точка.
Ответ: $x \in [-9; 7)$.

г) Решим неравенство $\frac{x+1}{x+4} \ge 0$ методом интервалов. Нуль числителя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Нуль знаменателя: $x + 4 = 0 \implies x = -4$. Отметим точки $-4$ и $-1$ на числовой оси. Нуль числителя $x=-1$ — закрашенная точка (неравенство нестрогое). Нуль знаменателя $x=-4$ — выколотая точка. Точки разбивают ось на интервалы $(-\infty; -4)$, $(-4; -1]$ и $[-1; \infty)$. Определим знак на крайнем правом интервале, взяв $x=0$: $\frac{0+1}{0+4} = \frac{1}{4} > 0$. Знаки на интервалах чередуются: (+), (–), (+). Нас интересуют значения, при которых выражение больше или равно нулю, то есть интервалы со знаком «+» и закрашенная точка.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup [-1; \infty)$.

д) Решим неравенство $\frac{3x-1}{x-5} > 0$ методом интервалов. Нуль числителя: $3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$. Нуль знаменателя: $x - 5 = 0 \implies x = 5$. Отметим точки $\frac{1}{3}$ и $5$ на числовой оси. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое. Точки разбивают ось на интервалы $(-\infty; \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}; 5)$ и $(5; \infty)$. Определим знак на крайнем правом интервале, взяв $x=6$: $\frac{3 \cdot 6 - 1}{6 - 5} = 17 > 0$. Знаки на интервалах чередуются: (+), (–), (+). Нас интересуют интервалы со знаком «+».
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (5; \infty)$.

е) Решим неравенство $\frac{2x-7}{4x+8} \le 0$ методом интервалов. Нуль числителя: $2x - 7 = 0 \implies x = 3,5$. Нуль знаменателя: $4x + 8 = 0 \implies x = -2$. Отметим точки $-2$ и $3,5$ на числовой оси. Нуль числителя $x=3,5$ — закрашенная точка. Нуль знаменателя $x=-2$ — выколотая точка. Точки разбивают ось на интервалы $(-\infty; -2)$, $(-2; 3,5]$ и $[3,5; \infty)$. Определим знак на крайнем правом интервале, взяв $x=4$: $\frac{2 \cdot 4 - 7}{4 \cdot 4 + 8} = \frac{1}{24} > 0$. Знаки на интервалах чередуются: (+), (–), (+). Нас интересует интервал со знаком «–» и закрашенная точка.
Ответ: $x \in (-2; 3,5]$.

ж) Решим неравенство $\frac{5x-1}{x} < 0$ методом интервалов. Нуль числителя: $5x - 1 = 0 \implies x = 0,2$. Нуль знаменателя: $x=0$. Отметим точки $0$ и $0,2$ на числовой оси. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое. Точки разбивают ось на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 0,2)$ и $(0,2; \infty)$. Определим знак на крайнем правом интервале, взяв $x=1$: $\frac{5 \cdot 1 - 1}{1} = 4 > 0$. Знаки на интервалах чередуются: (+), (–), (+). Нас интересует интервал со знаком «–».
Ответ: $x \in (0; 0,2)$.

з) Решим неравенство $\frac{x}{10x-7} \ge 0$ методом интервалов. Нуль числителя: $x = 0$. Нуль знаменателя: $10x - 7 = 0 \implies x = 0,7$. Отметим точки $0$ и $0,7$ на числовой оси. Нуль числителя $x=0$ — закрашенная точка. Нуль знаменателя $x=0,7$ — выколотая точка. Точки разбивают ось на интервалы $(-\infty; 0]$, $[0; 0,7)$ и $(0,7; \infty)$. Определим знак на крайнем правом интервале, взяв $x=1$: $\frac{1}{10 \cdot 1 - 7} = \frac{1}{3} > 0$. Знаки на интервалах чередуются: (+), (–), (+). Нас интересуют интервалы со знаком «+» и закрашенная точка.
Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup (0,7; \infty)$.