Номер 38.8, страница 191 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.8. Решите неравенство:

а) $(x - 5)^2 (x + 7) \le 0$;

б) $x^2 (x - 9) < 0$;

в) $\frac{(x - 7)^2}{x - 4} \le 0$;

г) $\frac{x - 1}{(x - 5)^2} \ge 0$;

д) $(x - 9)(x - 7)^2 (x + 6) \ge 0$;

е) $(2x + 7)(3 - x)(x - 2)^2 \ge 0$;

ж) $\frac{7 - x}{(x - 3)(x - 1)^2} < 0$;

з) $\frac{(x + 3)^2}{(1 - 5x)(x + 9)} \ge 0$.

а) Решим неравенство $(x-5)^2(x+7)\le 0$.

Для решения используем метод интервалов. Сначала найдем корни выражения, приравняв его к нулю: $(x-5)^2(x+7)=0$.

Корни уравнения: $x-5=0 \implies x=5$ (корень кратности 2) и $x+7=0 \implies x=-7$ (корень кратности 1).

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки, являющиеся корнями, будут закрашенными.

Множитель $(x-5)^2$ всегда неотрицателен, так как находится в четной степени. Это означает, что при переходе через точку $x=5$ знак выражения меняться не будет. Множитель $(x+7)$ находится в нечетной степени (1), поэтому при переходе через точку $x=-7$ знак выражения будет меняться.

Определим знаки выражения на полученных интервалах:

• При $x>5$ (например, $x=6$): $(6-5)^2(6+7) = 1 \cdot 13 > 0$. Знак «+».
• При $-7<x<5$ (например, $x=0$): $(0-5)^2(0+7) = 25 \cdot 7 > 0$. Знак «+».
• При $x<-7$ (например, $x=-8$): $(-8-5)^2(-8+7) = 169 \cdot (-1) < 0$. Знак «-».

Нас интересуют значения, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал, где знак «-», а также точки, где выражение равно нулю.

Выражение отрицательно при $x < -7$. Выражение равно нулю при $x=-7$ и $x=5$.

Объединяя эти условия, получаем решение: $x \in (-\infty, -7] \cup \{5\}$.
Ответ: $(-\infty, -7] \cup \{5\}$.

б) Решим неравенство $x^2(x-9) < 0$.

Применим метод интервалов. Корни выражения $x^2(x-9)=0$: $x=0$ (кратность 2) и $x=9$ (кратность 1).

Так как неравенство строгое ($<$), все корни будут выколотыми точками на числовой прямой.

Множитель $x^2$ имеет четную кратность, поэтому при переходе через точку $x=0$ знак не меняется. Множитель $(x-9)$ имеет нечетную кратность, поэтому при переходе через $x=9$ знак меняется.

Определим знаки на интервалах:

• При $x>9$ (например, $x=10$): $10^2(10-9) > 0$. Знак «+».
• При $0<x<9$ (например, $x=1$): $1^2(1-9) < 0$. Знак «-».
• При $x<0$ (например, $x=-1$): $(-1)^2(-1-9) < 0$. Знак «-».

Нас интересуют значения, где выражение строго меньше нуля (знак «-»).

Это происходит на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, 9)$.
Ответ: $(-\infty, 0) \cup (0, 9)$.

в) Решим неравенство $\frac{(x-7)^2}{x-4} \le 0$.

Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $(x-7)^2=0 \implies x=7$ (кратность 2). Так как неравенство нестрогое, эта точка является решением и будет закрашенной.

Нуль знаменателя: $x-4=0 \implies x=4$. Точка, в которой знаменатель равен нулю, всегда выкалывается, так как на ноль делить нельзя.

При переходе через точку $x=7$ (четная кратность) знак не меняется. При переходе через $x=4$ (нечетная кратность) знак меняется.

Определим знаки на интервалах:

• При $x>7$ (например, $x=8$): $\frac{(8-7)^2}{8-4} = \frac{1}{4} > 0$. Знак «+».
• При $4<x<7$ (например, $x=5$): $\frac{(5-7)^2}{5-4} = \frac{4}{1} > 0$. Знак «+».
• При $x<4$ (например, $x=0$): $\frac{(0-7)^2}{0-4} = \frac{49}{-4} < 0$. Знак «-».

Нам нужны значения, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал $(-\infty, 4)$ и изолированная точка $x=7$.
Ответ: $(-\infty, 4) \cup \{7\}$.

г) Решим неравенство $\frac{x-1}{(x-5)^2} \ge 0$.

Метод интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x-1=0 \implies x=1$. Точка будет закрашенной.

Нуль знаменателя: $(x-5)^2=0 \implies x=5$ (кратность 2). Точка будет выколотой.

При переходе через $x=1$ знак меняется, при переходе через $x=5$ (четная кратность) — нет.

Определим знаки на интервалах:

• При $x>5$ (например, $x=6$): $\frac{6-1}{(6-5)^2} > 0$. Знак «+».
• При $1<x<5$ (например, $x=2$): $\frac{2-1}{(2-5)^2} > 0$. Знак «+».
• При $x<1$ (например, $x=0$): $\frac{0-1}{(0-5)^2} < 0$. Знак «-».

Нам нужны значения, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $(1, 5)$ и $(5, +\infty)$, а также точка $x=1$. Объединив, получаем $[1, 5) \cup (5, +\infty)$.
Ответ: $[1, 5) \cup (5, +\infty)$.

д) Решим неравенство $(x-9)(x-7)^2(x+6) \ge 0$.

Метод интервалов. Корни: $x=9$, $x=7$ (кратность 2), $x=-6$. Все точки закрашенные, так как неравенство нестрогое.

При переходе через $x=9$ и $x=-6$ знак меняется, при переходе через $x=7$ — нет.

Определим знаки на интервалах:

• При $x>9$ (например, $x=10$): $(+)(+)(+) > 0$. Знак «+».
• При $7<x<9$ (например, $x=8$): $(-)(+)(+) < 0$. Знак «-».
• При $-6<x<7$ (например, $x=0$): $(-)(+)(+) < 0$. Знак «-».
• При $x<-6$ (например, $x=-10$): $(-)(+)(-) > 0$. Знак «+».

Нам нужны значения, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $(-\infty, -6]$ и $[9, +\infty)$, а также изолированная точка $x=7$, где выражение равно нулю.
Ответ: $(-\infty, -6] \cup \{7\} \cup [9, +\infty)$.

е) Решим неравенство $(2x+7)(3-x)(x-2)^2 \ge 0$.

Преобразуем множитель $(3-x)$ к стандартному виду $-(x-3)$. Неравенство примет вид: $-(2x+7)(x-3)(x-2)^2 \ge 0$.

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $(2x+7)(x-3)(x-2)^2 \le 0$.

Метод интервалов. Корни: $2x+7=0 \implies x=-3.5$, $x-3=0 \implies x=3$, $x-2=0 \implies x=2$ (кратность 2). Все точки закрашенные.

При переходе через $x=-3.5$ и $x=3$ знак меняется, при переходе через $x=2$ — нет.

Определим знаки для $(2x+7)(x-3)(x-2)^2$:

• При $x>3$ (например, $x=4$): $(+)(+)(+) > 0$. Знак «+».
• При $2<x<3$ (например, $x=2.5$): $(+)(-)(+) < 0$. Знак «-».
• При $-3.5<x<2$ (например, $x=0$): $(+)(-)(+) < 0$. Знак «-».
• При $x<-3.5$ (например, $x=-4$): $(-)(-)(+) > 0$. Знак «+».

Нам нужны значения, где выражение $\le 0$. Это интервал $[-3.5, 3]$.
Ответ: $[-3.5, 3]$.

ж) Решим неравенство $\frac{7-x}{(x-3)(x-1)^2} < 0$.

Преобразуем числитель: $7-x = -(x-7)$. Неравенство: $\frac{-(x-7)}{(x-3)(x-1)^2} < 0$.

Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{x-7}{(x-3)(x-1)^2} > 0$.

Метод интервалов. Нуль числителя: $x=7$. Нули знаменателя: $x=3$, $x=1$ (кратность 2). Все точки выколотые, так как неравенство строгое.

При переходе через $x=7$ и $x=3$ знак меняется, при переходе через $x=1$ — нет.

Определим знаки на интервалах:

• При $x>7$ (например, $x=8$): $\frac{(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак «+».
• При $3<x<7$ (например, $x=4$): $\frac{(-)}{(+)(+)} < 0$. Знак «-».
• При $1<x<3$ (например, $x=2$): $\frac{(-)}{(-)(+)} > 0$. Знак «+».
• При $x<1$ (например, $x=0$): $\frac{(-)}{(-)(+)} > 0$. Знак «+».

Нам нужны значения, где выражение $> 0$. Это интервалы $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$ и $(7, +\infty)$.
Ответ: $(-\infty, 1) \cup (1, 3) \cup (7, +\infty)$.

з) Решим неравенство $\frac{(x+3)^2}{(1-5x)(x+9)} \ge 0$.

Преобразуем знаменатель: $1-5x = -(5x-1)$. Неравенство: $\frac{(x+3)^2}{-(5x-1)(x+9)} \ge 0$.

Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{(x+3)^2}{(5x-1)(x+9)} \le 0$.

Метод интервалов. Нуль числителя: $x=-3$ (кратность 2), точка закрашенная. Нули знаменателя: $5x-1=0 \implies x=0.2$ и $x+9=0 \implies x=-9$, точки выколотые.

При переходе через $x=0.2$ и $x=-9$ знак меняется, при переходе через $x=-3$ — нет.

Определим знаки для $\frac{(x+3)^2}{(5x-1)(x+9)}$:

• При $x>0.2$ (например, $x=1$): $\frac{(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак «+».
• При $-3<x<0.2$ (например, $x=0$): $\frac{(+)}{(-)(+)} < 0$. Знак «-».
• При $-9<x<-3$ (например, $x=-4$): $\frac{(+)}{(-)(+)} < 0$. Знак «-».
• При $x<-9$ (например, $x=-10$): $\frac{(+)}{(-)(-)} > 0$. Знак «+».

Нам нужны значения, где выражение $\le 0$. Это интервал $(-9, 0.2)$. Точка $x=-3$ уже входит в этот интервал.
Ответ: $(-9, 0.2)$.