Номер 38.7, страница 191 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.7. Решите совокупность неравенств $\left[ \begin{gathered} x(x - 5)(2x - 7) \le 0, \\ \frac{x + 3}{x - 1} > 0. \end{gathered} \right.$

Данная задача представляет собой совокупность двух неравенств. Это означает, что мы должны найти все значения $x$, которые удовлетворяют хотя бы одному из этих неравенств. Для этого мы решим каждое неравенство по отдельности, а затем объединим их множества решений.

1. Решение первого неравенства $x(x - 5)(2x - 7) \le 0$

Это полиномиальное неравенство, которое решается методом интервалов. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:
$x(x - 5)(2x - 7) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$
$x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$
$2x - 7 = 0 \Rightarrow x_3 = 3.5$

Нанесем эти корни на числовую ось в порядке возрастания: $0$, $3.5$, $5$. Эти точки разделяют ось на четыре интервала. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться.

Определим знак выражения на крайнем правом интервале, взяв, например, $x=10$:
$10(10-5)(2 \cdot 10 - 7) = 10 \cdot 5 \cdot 13 > 0$.
Знаки на интервалах, двигаясь справа налево, будут: $+, -, +, -$.
$(-\infty; 0) \quad (0; 3.5) \quad (3.5; 5) \quad (5; +\infty)$
$\qquad - \qquad + \qquad - \qquad +$

По условию неравенство нестрогое ($\le 0$), поэтому мы ищем интервалы со знаком «−» и включаем в решение сами корни.
Решением первого неравенства является множество: $(-\infty, 0] \cup [3.5, 5]$.

2. Решение второго неравенства $\frac{x+3}{x-1} > 0$

Это рациональное неравенство, которое также решается методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
Нуль знаменателя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
Точка $x=1$ исключается из решения, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю. Точка $x=-3$ также исключается, так как неравенство строгое ($>0$).

Нанесем точки $-3$ и $1$ на числовую ось. Они разделяют ось на три интервала. Определим знак выражения на крайнем правом интервале, взяв, например, $x=2$:
$\frac{2+3}{2-1} = 5 > 0$.
Знаки на интервалах, двигаясь справа налево, будут чередоваться: $+, -, +$.
$(-\infty; -3) \quad (-3; 1) \quad (1; +\infty)$
$\qquad + \qquad - \qquad +$

По условию неравенство строгое ($>0$), поэтому мы ищем интервалы со знаком «+».
Решением второго неравенства является множество: $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.

3. Объединение решений

Теперь нам нужно найти объединение множеств решений обоих неравенств, так как мы решаем совокупность.
Решение первого: $x \in (-\infty, 0] \cup [3.5, 5]$.
Решение второго: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.
Объединим эти множества: $( (-\infty, 0] \cup [3.5, 5] ) \cup ( (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) )$.

Рассмотрим объединение на числовой оси.

• Интервал $(-\infty, -3)$ входит в решение второго неравенства. Интервал $[-3, 0]$ входит в решение первого. Их объединение дает $(-\infty, 0]$.
• Интервал $(1, +\infty)$ входит в решение второго неравенства. Отрезок $[3.5, 5]$ входит в решение первого. Так как $[3.5, 5]$ полностью содержится внутри $(1, +\infty)$, их объединение дает $(1, +\infty)$.

Итоговое множество является объединением этих двух частей.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup (1, +\infty)$.