Номер 38.9, страница 192 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.9. Решите систему неравенств:

a) $$\begin{cases} (x+3)(x-5)(x-7)^2 \ge 0, \\ x^2-49 \le 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \frac{(x-1)^2(x+5)}{x-3} \ge 0, \\ x(x-1)(x+9) \ge 0. \end{cases}$$

а) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} (x+3)(x-5)(x-7)^2 \ge 0 \\ x^2 - 49 \le 0 \end{cases} $$

Сначала решим первое неравенство: $(x+3)(x-5)(x-7)^2 \ge 0$.

Множитель $(x-7)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=7$ (в этой точке неравенство выполняется) и положителен при $x \neq 7$. Таким образом, точка $x=7$ является решением. Для всех $x \neq 7$ неравенство равносильно неравенству $(x+3)(x-5) \ge 0$.

Решением неравенства $(x+3)(x-5) \ge 0$ является объединение промежутков $(-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.

Объединяя это решение с точкой $x=7$, получаем решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2 - 49 \le 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x-7)(x+7) \le 0$. Корнями являются точки $x=-7$ и $x=7$. Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in [-7, 7]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть пересечение множеств $(-\infty, -3] \cup [5, \infty)$ и $[-7, 7]$.

Пересечение $(-\infty, -3]$ и $[-7, 7]$ дает промежуток $[-7, -3]$.

Пересечение $[5, \infty)$ и $[-7, 7]$ дает промежуток $[5, 7]$.

Объединение этих промежутков и есть решение системы.

Ответ: $x \in [-7, -3] \cup [5, 7]$.

б) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{(x-1)^2(x+5)}{x-3} \ge 0 \\ x(x-1)(x+9) \ge 0 \end{cases} $$

Сначала решим первое неравенство: $\frac{(x-1)^2(x+5)}{x-3} \ge 0$.

Область допустимых значений: $x \neq 3$. Множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен. При $x=1$ числитель обращается в ноль, и неравенство выполняется. Таким образом, $x=1$ является решением. При $x \neq 1$ множитель $(x-1)^2$ положителен, и неравенство равносильно $\frac{x+5}{x-3} \ge 0$.

Решим неравенство $\frac{x+5}{x-3} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-5$ и $x=3$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Выражение положительно при $x > 3$ и при $x < -5$. Равенство нулю достигается при $x=-5$.

Решение неравенства $\frac{x+5}{x-3} \ge 0$ есть $x \in (-\infty, -5] \cup (3, \infty)$.

Объединяя с решением $x=1$, получаем полное решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -5] \cup \{1\} \cup (3, \infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $x(x-1)(x+9) \ge 0$.

Применим метод интервалов. Корни выражения: $x=-9$, $x=0$, $x=1$. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала. Проверяя знак выражения в каждом интервале, находим, что оно неотрицательно на промежутках $[-9, 0]$ и $[1, \infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in [-9, 0] \cup [1, \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств. Ищем пересечение множеств $(-\infty, -5] \cup \{1\} \cup (3, \infty)$ и $[-9, 0] \cup [1, \infty)$.

Пересечение $(-\infty, -5]$ с $[-9, 0] \cup [1, \infty)$ дает промежуток $[-9, -5]$.

Точка $x=1$ принадлежит обоим множествам, поэтому является решением.

Пересечение $(3, \infty)$ с $[-9, 0] \cup [1, \infty)$ дает промежуток $(3, \infty)$.

Объединяя все найденные части, получаем окончательное решение системы.

Ответ: $x \in [-9, -5] \cup \{1\} \cup (3, \infty)$.