Номер 37.39, страница 190 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.39*. Запишите уравнение окружности, проходящей через точки $B(3; 0)$ и $C(-1; 2)$, если ее центр лежит на прямой $y = x + 2$.

Обозначим центр искомой окружности как $O(a; b)$, а ее радиус как $R$. Каноническое уравнение окружности имеет вид:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Из условия задачи известно, что центр окружности $O(a; b)$ лежит на прямой $y = x + 2$. Следовательно, координаты центра удовлетворяют уравнению этой прямой:
$b = a + 2$.
Теперь мы можем выразить координаты центра через одну переменную: $O(a; a + 2)$.

Окружность проходит через точки $B(3; 0)$ и $C(-1; 2)$. Это означает, что расстояние от центра до каждой из этих точек равно радиусу $R$. Таким образом, квадраты расстояний от центра до этих точек равны между собой: $OB^2 = OC^2$.
Используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$, составим уравнение:
$(3 - a)^2 + (0 - b)^2 = (-1 - a)^2 + (2 - b)^2$

Подставим в это уравнение выражение $b = a + 2$, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $a$:
$(3 - a)^2 + (0 - (a + 2))^2 = (-1 - a)^2 + (2 - (a + 2))^2$
$(3 - a)^2 + (-(a + 2))^2 = (-(1 + a))^2 + (2 - a - 2)^2$
$(3 - a)^2 + (a + 2)^2 = (1 + a)^2 + (-a)^2$

Теперь раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$(9 - 6a + a^2) + (a^2 + 4a + 4) = (1 + 2a + a^2) + a^2$
$2a^2 - 2a + 13 = 2a^2 + 2a + 1$
Перенесем слагаемые с $a$ в одну сторону, а числа в другую:
$13 - 1 = 2a + 2a$
$12 = 4a$
$a = 3$

Найдем вторую координату центра $b$, используя соотношение $b = a + 2$:
$b = 3 + 2 = 5$
Итак, центр окружности — точка $O(3; 5)$.

Осталось вычислить квадрат радиуса $R^2$. Для этого подставим координаты центра $O(3; 5)$ и любой из заданных точек (например, $B(3; 0)$) в уравнение окружности:
$R^2 = (x_B - a)^2 + (y_B - b)^2$
$R^2 = (3 - 3)^2 + (0 - 5)^2 = 0^2 + (-5)^2 = 25$

Зная координаты центра $(3; 5)$ и квадрат радиуса $R^2 = 25$, записываем окончательное уравнение окружности.

Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$.