Номер 37.32, страница 189 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.32*. Решите систему уравнений

$$\begin{cases} x^4 + y^4 = 17, \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases}$$

Для решения данной системы уравнений введем замену переменных. Пусть $a = x^2$ и $b = y^2$. Так как квадраты действительных чисел неотрицательны, новые переменные должны удовлетворять условиям $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

С учетом замены исходная система примет вид:

$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 17, \\ a + b = 5. \end{cases} $

Возведем второе уравнение в квадрат: $(a+b)^2 = 5^2$, что равносильно $a^2 + 2ab + b^2 = 25$. Из первого уравнения системы известно, что $a^2 + b^2 = 17$. Подставив это значение, получаем $17 + 2ab = 25$.

Отсюда находим произведение $ab$: $2ab = 25 - 17$, $2ab = 8$, следовательно $ab = 4$.

Теперь мы имеем систему, в которой известны сумма и произведение переменных $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a + b = 5, \\ ab = 4. \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условиям $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Таким образом, для пары $(a, b)$ есть два возможных набора значений: $(1, 4)$ и $(4, 1)$.

Рассмотрим оба случая, выполнив обратную замену.

Если $a = 1$ и $b = 4$, то $x^2 = 1$ и $y^2 = 4$. Отсюда $x = \pm 1$ и $y = \pm 2$. Это дает нам четыре пары решений: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$.

Если $a = 4$ и $b = 1$, то $x^2 = 4$ и $y^2 = 1$. Отсюда $x = \pm 2$ и $y = \pm 1$. Это дает нам еще четыре пары решений: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

Ответ: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$, $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.