Номер 37.28, страница 188 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.28. Запишите уравнение окружности, проходящей через точки $A(-3; 0)$, $B(0; 9)$, если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
По условию задачи, центр окружности лежит на оси ординат (оси OY). Это означает, что абсцисса центра равна нулю, то есть $x_0 = 0$. Таким образом, центр окружности имеет координаты $C(0; y_0)$.
Уравнение окружности принимает вид: $x^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Окружность проходит через точки $A(-3; 0)$ и $B(0; 9)$. Поскольку все точки окружности равноудалены от ее центра, то расстояния от центра $C$ до точек $A$ и $B$ равны радиусу $R$. Следовательно, квадраты этих расстояний также равны: $CA^2 = CB^2 = R^2$.
Найдем квадраты расстояний:
$CA^2 = (-3 - 0)^2 + (0 - y_0)^2 = 9 + y_0^2$.
$CB^2 = (0 - 0)^2 + (9 - y_0)^2 = (9 - y_0)^2$.
Приравняем эти два выражения:
$9 + y_0^2 = (9 - y_0)^2$.
Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности:
$9 + y_0^2 = 81 - 18y_0 + y_0^2$.
Вычтем $y_0^2$ из обеих частей уравнения и решим его относительно $y_0$:
$9 = 81 - 18y_0$
$18y_0 = 81 - 9$
$18y_0 = 72$
$y_0 = \frac{72}{18} = 4$.
Итак, мы нашли ординату центра. Координаты центра окружности: $C(0; 4)$.
Теперь найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив значение $y_0 = 4$ в любое из выражений для квадрата расстояния. Например, в выражение для $CA^2$:
$R^2 = 9 + y_0^2 = 9 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Мы нашли все параметры окружности: центр $(0; 4)$ и квадрат радиуса $R^2 = 25$. Подставим их в общее уравнение окружности:
$(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = 25$.
$x^2 + (y - 4)^2 = 25$.

Ответ: $x^2 + (y - 4)^2 = 25$