Номер 37.29, страница 188 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.29. Составьте уравнение окружности с центром в точке A(0; 5), проходящей через точку B(-3; 1). Найдите координаты точек пересечения этой окружности и прямой $y = x$.

Составьте уравнение окружности с центром в точке A(0; 5), проходящей через точку B(-3; 1).

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

По условию задачи, центр окружности — это точка $A(0; 5)$, значит, $x_0 = 0$ и $y_0 = 5$. Подставив эти значения в общую формулу, получаем:

$(x - 0)^2 + (y - 5)^2 = R^2$

$x^2 + (y - 5)^2 = R^2$

Так как окружность проходит через точку $B(-3; 1)$, ее радиус $R$ равен расстоянию между центром $A$ и точкой $B$. Найдем квадрат радиуса $R^2$, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками:

$R^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = (-3 - 0)^2 + (1 - 5)^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$.

Теперь подставим найденное значение $R^2 = 25$ в уравнение окружности:

$x^2 + (y - 5)^2 = 25$.

Ответ: $x^2 + (y - 5)^2 = 25$.

Найдите координаты точек пересечения этой окружности и прямой y = x.

Чтобы найти точки пересечения, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения окружности и уравнения прямой:

$\begin{cases} x^2 + (y - 5)^2 = 25 \\ y = x \end{cases}$

Подставим $y = x$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (x - 5)^2 = 25$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 + (x^2 - 10x + 25) = 25$

$2x^2 - 10x + 25 = 25$

$2x^2 - 10x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 5) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$2x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$

Так как по условию $y = x$, найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных $x$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0$. Координаты первой точки пересечения — $(0; 0)$.

Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 5$. Координаты второй точки пересечения — $(5; 5)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(5; 5)$.