Номер 38.17, страница 193 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.17. Решите неравенство методом интервалов:

а) $(-x^2 + 2x - 7)(4x^2 + x - 5)(x - 1)^6 \ge 0;$

б) $(x^2 - 9)(x^2 - 7x + 12) \ge 0;$

в) $\frac{(x^2 - 6x + 8)(x - 4)^5}{(x - 2)(7 - x)^3} \ge 0;$

г) $\frac{(x - 3)^4 (x^2 + 6x + 10)}{(x - 3)(x - 5)} \le 0.$

а) Решим неравенство $(-x^2 + 2x - 7)(4x^2 + x - 5)(x - 1)^6 \ge 0$.

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. Для квадратного трехчлена $-x^2 + 2x - 7$ найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4(-1)(-7) = 4 - 28 = -24$. Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a = -1$ отрицателен, выражение $-x^2 + 2x - 7$ всегда отрицательно при любом значении $x$.

2. Для квадратного трехчлена $4x^2 + x - 5$ найдем корни. Дискриминант $D = 1^2 - 4(4)(-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$. Корни: $x_1 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 4} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$ и $x_2 = \frac{-1 + 9}{8} = 1$. Таким образом, $4x^2 + x - 5 = 4(x + \frac{5}{4})(x - 1)$.

3. Множитель $(x - 1)^6$ всегда неотрицателен, так как показатель степени (6) — четное число. Он равен нулю при $x=1$ и положителен при $x \ne 1$.

Так как множитель $(-x^2 + 2x - 7)$ всегда отрицателен, мы можем разделить обе части неравенства на него, изменив знак неравенства на противоположный:

$(4x^2 + x - 5)(x - 1)^6 \le 0$

Подставим разложение второго множителя:

$4(x + \frac{5}{4})(x - 1)(x - 1)^6 \le 0$

$4(x + \frac{5}{4})(x - 1)^7 \le 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули левой части: $x = -\frac{5}{4}$ и $x = 1$. Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения на интервалах.

Интервалы: $(-\infty, -\frac{5}{4})$, $(-\frac{5}{4}, 1)$, $(1, \infty)$.
- При $x > 1$ (например, $x=2$): $4(2 + \frac{5}{4})(2 - 1)^7 > 0$. Знак "+".
- При $-\frac{5}{4} < x < 1$ (например, $x=0$): $4(0 + \frac{5}{4})(0 - 1)^7 < 0$. Знак "-".
- При $x < -\frac{5}{4}$ (например, $x=-2$): $4(-2 + \frac{5}{4})(-2 - 1)^7 > 0$. Знак "+".

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал, где знак "-", и точки, где выражение равно нулю ($x = -\frac{5}{4}$ и $x = 1$).

Следовательно, решением является отрезок $[-\frac{5}{4}, 1]$.

Ответ: $x \in [-\frac{5}{4}, 1]$.

б) Решим неравенство $(x^2 - 9)(x^2 - 7x + 12) \ge 0$.

Разложим каждый множитель на линейные сомножители:

1. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ (разность квадратов).

2. Для $x^2 - 7x + 12 = 0$ по теореме Виета корни $x_1=3, x_2=4$. Таким образом, $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

Подставим разложения в исходное неравенство:

$(x - 3)(x + 3)(x - 3)(x - 4) \ge 0$

$(x + 3)(x - 3)^2(x - 4) \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули левой части: $x = -3$, $x = 3$ (корень кратности 2), $x = 4$. Нанесем точки на числовую ось.

При переходе через корень $x = 3$ знак выражения меняться не будет, так как множитель $(x - 3)^2$ всегда неотрицателен.

Интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$, $(3, 4)$, $(4, \infty)$.
- При $x > 4$ (например, $x=5$): $(+)(+)^2(+) > 0$. Знак "+".
- При $3 < x < 4$ (например, $x=3.5$): $(+)(+)^2(-) < 0$. Знак "-".
- При $-3 < x < 3$ (например, $x=0$): $(+)(-)^2(-) < 0$. Знак "-".
- При $x < -3$ (например, $x=-4$): $(-)(-)^2(-) > 0$. Знак "+".

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы, где знак "+", и точки, где выражение равно нулю ($x = -3, x = 3, x = 4$).

Решение: $(-\infty, -3] \cup [4, \infty)$. Также необходимо включить изолированную точку $x=3$, где выражение равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup \{3\} \cup [4, \infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{(x^2 - 6x + 8)(x - 4)^5}{(x - 2)(7 - x)^3} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, т.е. $x - 2 \ne 0$ и $7 - x \ne 0$. Отсюда $x \ne 2$ и $x \ne 7$.

Разложим числитель на множители. Для $x^2 - 6x + 8 = 0$ по теореме Виета корни $x_1=2, x_2=4$. Тогда $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$.

Подставим в неравенство:

$\frac{(x - 2)(x - 4)(x - 4)^5}{(x - 2)(7 - x)^3} \ge 0$

$\frac{(x - 2)(x - 4)^6}{(x - 2)(7 - x)^3} \ge 0$

С учетом ОДЗ ($x \ne 2$), мы можем сократить множитель $(x - 2)$. Также преобразуем $(7-x)^3 = (-(x-7))^3 = -(x-7)^3$.

$\frac{(x - 4)^6}{-(x - 7)^3} \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{(x - 4)^6}{(x - 7)^3} \le 0$

Решим методом интервалов. Числитель $(x - 4)^6 \ge 0$ для всех $x$. Он равен нулю при $x=4$.

Дробь будет отрицательной, когда знаменатель отрицателен (так как числитель почти всегда положителен):

$(x - 7)^3 < 0 \implies x - 7 < 0 \implies x < 7$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $(x - 4)^6 = 0 \implies x = 4$.

Объединяя условия, получаем $x < 7$ или $x=4$. Это можно записать как $x \in (-\infty, 7)$.

Теперь учтем ОДЗ: $x \ne 2$ и $x \ne 7$. Точка $x=7$ уже исключена, так как интервал открытый. Необходимо исключить точку $x=2$.

Итоговое решение: $(-\infty, 2) \cup (2, 7)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 7)$.

г) Решим неравенство $\frac{(x - 3)^4 (x^2 + 6x + 10)}{(x - 3)(x - 5)} \le 0$.

ОДЗ: $x - 3 \ne 0$ и $x - 5 \ne 0$, то есть $x \ne 3$ и $x \ne 5$.

Рассмотрим множитель $x^2 + 6x + 10$. Дискриминант $D = 6^2 - 4(1)(10) = 36 - 40 = -4$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1$ положителен, выражение $x^2 + 6x + 10$ всегда положительно. Можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака.

$\frac{(x - 3)^4}{(x - 3)(x - 5)} \le 0$

С учетом ОДЗ ($x \ne 3$), можем сократить дробь на $(x - 3)$:

$\frac{(x - 3)^3}{x - 5} \le 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=3$ и $x=5$.

Интервалы: $(-\infty, 3)$, $(3, 5)$, $(5, \infty)$.
- При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{(+)^3}{+} > 0$. Знак "+".
- При $3 < x < 5$ (например, $x=4$): $\frac{(+)^3}{-} < 0$. Знак "-".
- При $x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)^3}{-} > 0$. Знак "+".

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал $(3, 5)$ и точка $x=3$ (где числитель равен нулю). Решение упрощенного неравенства: $[3, 5)$.

Теперь применим ОДЗ: $x \ne 3$ и $x \ne 5$.

Исключаем точку $x=3$ из отрезка $[3, 5)$, получая интервал $(3, 5)$. Точка $x=5$ уже исключена.

Ответ: $x \in (3, 5)$.