Номер 38.21, страница 194 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.21*. Найдите область определения функции

$y = \sqrt{1 - \frac{26 - x}{42 - x - x^2}}$

Область определения функции — это множество всех значений $x$, при которых выражение под знаком квадратного корня неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Запишем и решим соответствующее неравенство:

$1 - \frac{26 - x}{42 - x - x^2} \ge 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(42 - x - x^2) - (26 - x)}{42 - x - x^2} \ge 0$

Упростим выражение в числителе:

$\frac{42 - x - x^2 - 26 + x}{42 - x - x^2} \ge 0$

$\frac{16 - x^2}{42 - x - x^2} \ge 0$

Для удобства решения методом интервалов, умножим числитель и знаменатель дроби на -1. Так как $\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$, знак неравенства не изменится:

$\frac{-(16 - x^2)}{-(42 - x - x^2)} \ge 0 \implies \frac{x^2 - 16}{x^2 + x - 42} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$\frac{(x - 4)(x + 4)}{(x + 7)(x - 6)} \ge 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни числителя и знаменателя. Корни числителя: $x = 4$ и $x = -4$. Корни знаменателя: $x = -7$ и $x = 6$. Отметим эти точки на числовой прямой. Корни знаменателя ($x=-7$ и $x=6$) будут выколотыми точками, поскольку знаменатель не может быть равен нулю. Корни числителя ($x=-4$ и $x=4$) будут закрашенными, поскольку неравенство нестрогое ($\ge$).

Получим интервалы: $(-\infty, -7)$, $(-7, -4]$, $[-4, 4]$, $[4, 6)$, $(6, +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{(x - 4)(x + 4)}{(x + 7)(x - 6)}$ на каждом из интервалов. На интервале $(6, +\infty)$ выражение положительно. Далее знаки чередуются: на $(4, 6)$ — отрицательно, на $[-4, 4]$ — положительно, на $(-7, -4]$ — отрицательно, на $(-\infty, -7)$ — положительно.

Нам нужны промежутки, на которых выражение неотрицательно (имеет знак «+»). Это промежутки $(-\infty, -7)$, $[-4, 4]$ и $(6, +\infty)$.

Следовательно, область определения функции является объединением этих промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup [-4; 4] \cup (6; +\infty)$.