Номер 39.6, страница 194 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.6. Какие из данных последовательностей являются арифметическими прогрессиями:

а) $-2; -4; -6;...;$

б) $8; 10; 18; 28;...;$

в) $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4};...;$

г) $1; 2; 3;...;?$;

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается $d$.

Чтобы проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией, необходимо вычислить разность между несколькими парами последовательных членов. Если разность оказывается одинаковой, то последовательность является арифметической прогрессией.

а) –2; –4; –6; ...

Обозначим члены последовательности: $a_1 = -2$, $a_2 = -4$, $a_3 = -6$.

Найдем разность между вторым и первым членами: $d_1 = a_2 - a_1 = -4 - (-2) = -4 + 2 = -2$.

Найдем разность между третьим и вторым членами: $d_2 = a_3 - a_2 = -6 - (-4) = -6 + 4 = -2$.

Так как разность между последовательными членами постоянна и равна –2, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является арифметической прогрессией.

б) 8; 10; 18; 28; ...

Обозначим члены последовательности: $a_1 = 8$, $a_2 = 10$, $a_3 = 18$, $a_4 = 28$.

Найдем разность между вторым и первым членами: $d_1 = a_2 - a_1 = 10 - 8 = 2$.

Найдем разность между третьим и вторым членами: $d_2 = a_3 - a_2 = 18 - 10 = 8$.

Поскольку $d_1 \neq d_2$ ($2 \neq 8$), разность не является постоянной. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является арифметической прогрессией.

в) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$; ...

Обозначим члены последовательности: $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_2 = \frac{1}{3}$, $a_3 = \frac{1}{4}$.

Найдем разность между вторым и первым членами: $d_1 = a_2 - a_1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$.

Найдем разность между третьим и вторым членами: $d_2 = a_3 - a_2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3}{12} - \frac{4}{12} = -\frac{1}{12}$.

Поскольку $d_1 \neq d_2$ ($-\frac{1}{6} \neq -\frac{1}{12}$), разность не является постоянной. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является арифметической прогрессией.

г) 1; 2; 3; ...

Обозначим члены последовательности: $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_3 = 3$.

Найдем разность между вторым и первым членами: $d_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$.

Найдем разность между третьим и вторым членами: $d_2 = a_3 - a_2 = 3 - 2 = 1$.

Так как разность между последовательными членами постоянна и равна 1, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является арифметической прогрессией.