Номер 39.9, страница 195 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.9. Последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, у которой $a_2 = 6$, $a_4 = 10$. Найдите третий член данной прогрессии.

В задаче дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, у которой известны второй член $a_2 = 6$ и четвертый член $a_4 = 10$. Требуется найти третий член этой прогрессии, $a_3$.

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование свойства среднего арифметического

Ключевое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что любой её член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов ($a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$). В нашем случае, член $a_3$ расположен ровно посередине между членами $a_2$ и $a_4$. Следовательно, $a_3$ является их средним арифметическим.

Формула для нахождения $a_3$:

$a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2}$

Подставляем известные значения $a_2 = 6$ и $a_4 = 10$:

$a_3 = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Способ 2: Через нахождение разности прогрессии

Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$. Формула, связывающая члены $a_4$ и $a_2$, выглядит так:

$a_4 = a_2 + (4-2)d$

Подставим известные значения:

$10 = 6 + 2d$

Теперь выразим и вычислим $d$:

$2d = 10 - 6$

$2d = 4$

$d = 2$

Зная разность прогрессии, мы можем вычислить $a_3$. Третий член получается из второго прибавлением разности $d$:

$a_3 = a_2 + d = 6 + 2 = 8$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 8