Номер 38.18, страница 193 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

38.18. Найти сумму целых решений неравенства

$\frac{(x-4)(x-3)(3x-7-x^2)}{x^2+x-2} > 0$

Для решения неравенства $\frac{(x-4)(x-3)(3x-7-x^2)}{x^2+x-2} > 0$ необходимо найти все значения $x$, при которых дробь положительна. Воспользуемся методом интервалов.

Сначала проанализируем числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $(x-4)(x-3)(3x-7-x^2)$.
Найдем корни каждого множителя:
1. $x-4=0 \implies x=4$.
2. $x-3=0 \implies x=3$.
3. $3x-7-x^2=0$. Умножим уравнение на -1, чтобы получить стандартный вид: $x^2-3x+7=0$.
Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), выражение $x^2-3x+7$ всегда положительно. Следовательно, исходный множитель $3x-7-x^2 = -(x^2-3x+7)$ всегда отрицателен при любом действитеьном $x$.

Знаменатель: $x^2+x-2$.
Найдем корни уравнения $x^2+x-2=0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -2. Корнями являются $x=-2$ и $x=1$.
Таким образом, знаменатель можно разложить на множители: $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -2$ и $x \neq 1$.

Теперь преобразуем исходное неравенство. Так как множитель $(3x-7-x^2)$ всегда отрицателен, мы можем разделить на него обе части неравенства, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$$ \frac{(x-4)(x-3)}{x^2+x-2} < 0 $$

Подставим разложение знаменателя:

$$ \frac{(x-4)(x-3)}{(x+2)(x-1)} < 0 $$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя ($x=3, x=4$) и нули знаменателя ($x=-2, x=1$). Точки, обращающие знаменатель в ноль, будут "выколотыми".

Точки -2, 1, 3, 4 разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$, $(1; 3)$, $(3; 4)$, $(4; +\infty)$. Определим знак левой части неравенства на каждом из них:

• Интервал $(4; +\infty)$: возьмем $x=5$, $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
• Интервал $(3; 4)$: возьмем $x=3.5$, $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$.
• Интервал $(1; 3)$: возьмем $x=2$, $\frac{(-)(-)}{(+)(+)} > 0$.
• Интервал $(-2; 1)$: возьмем $x=0$, $\frac{(-)(-)}{(+)(-)} < 0$.
• Интервал $(-\infty; -2)$: возьмем $x=-3$, $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-2; 1)$ и $(3; 4)$.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-2; 1) \cup (3; 4)$.

Далее найдем целые решения, которые принадлежат этим интервалам:
- В интервале $(-2; 1)$ находятся целые числа -1 и 0.
- В интервале $(3; 4)$ целых чисел нет.

Всеми целыми решениями неравенства являются -1 и 0.

Найдем их сумму:
Сумма $= -1 + 0 = -1$.

Ответ: -1