Номер 37.17, страница 187 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.17. В зрительном зале было 320 мест, расположенных одинаковыми рядами. После того как число мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили еще один ряд, в зрительном зале стало 420 мест. Сколько стало рядов в зрительном зале?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $r$ — это первоначальное количество рядов в зале, а $s$ — первоначальное количество мест в каждом ряду.

Согласно условию, изначально общее число мест составляло 320. Это можно записать в виде уравнения:$$r \cdot s = 320$$

После того как число мест в каждом ряду увеличили на 4 (новое количество мест в ряду — $s+4$) и добавили еще один ряд (новое количество рядов — $r+1$), общее число мест в зале стало 420. Это дает нам второе уравнение:$$(r+1)(s+4) = 420$$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$$\begin{cases}r \cdot s = 320 \\(r+1)(s+4) = 420\end{cases}$$

Выразим переменную $s$ из первого уравнения:$$s = \frac{320}{r}$$

Теперь подставим это выражение для $s$ во второе уравнение системы:$$(r+1)\left(\frac{320}{r} + 4\right) = 420$$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:$$r \cdot \frac{320}{r} + r \cdot 4 + 1 \cdot \frac{320}{r} + 1 \cdot 4 = 420$$$$320 + 4r + \frac{320}{r} + 4 = 420$$$$4r + \frac{320}{r} + 324 = 420$$$$4r + \frac{320}{r} = 96$$

Умножим все члены уравнения на $r$, чтобы избавиться от знаменателя (мы знаем, что $r \neq 0$, так как это число рядов):$$4r^2 + 320 = 96r$$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$$4r^2 - 96r + 320 = 0$$

Для упрощения разделим уравнение на 4:$$r^2 - 24r + 80 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения:$r_1 = 20$ и $r_2 = 4$.

Так как оба корня — положительные целые числа, они оба могут быть количеством рядов. Проверим оба варианта.

1. Если изначально было $r = 20$ рядов, то мест в ряду было $s = 320 / 20 = 16$. После изменений количество рядов стало $r+1 = 21$, а мест в ряду $s+4 = 20$. Проверка: $21 \cdot 20 = 420$. Этот вариант подходит. Новое количество рядов — 21.

2. Если изначально было $r = 4$ ряда, то мест в ряду было $s = 320 / 4 = 80$. После изменений количество рядов стало $r+1 = 5$, а мест в ряду $s+4 = 84$. Проверка: $5 \cdot 84 = 420$. Этот вариант тоже подходит. Новое количество рядов — 5.

Таким образом, задача имеет два возможных решения, так как в условии нет дополнительных ограничений.

Ответ: 21 ряд или 5 рядов.