Номер 37.19, страница 187 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.19. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases}\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2, \\x + y = 6;\end{cases}$

б) $\begin{cases}\frac{1}{2x - y} + y = -5, \\\frac{y}{2x - y} = 6;\end{cases}$

в) $\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 6, \\\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 20;\end{cases}$

г) $\begin{cases}\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{13}{6}, \\x + y = 5.\end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2 \\ x + y = 6 \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$ и $y \ne 0$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$$ \frac{x^2 + y^2}{xy} = 2 $$

При условии, что $xy \ne 0$, умножим обе части на $xy$:

$$ x^2 + y^2 = 2xy $$

Перенесем все члены в левую часть:

$$ x^2 - 2xy + y^2 = 0 $$

Это формула квадрата разности:

$$ (x - y)^2 = 0 $$

Из этого уравнения следует, что $x - y = 0$, то есть $x = y$.

Теперь подставим это соотношение во второе уравнение системы $x + y = 6$:

$$ x + x = 6 $$

$$ 2x = 6 $$

$$ x = 3 $$

Поскольку $x = y$, то $y$ также равен 3.

Получили решение $(3, 3)$. Проверим его, подставив в исходную систему:

$$ \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = 1 + 1 = 2 $$

$$ 3 + 3 = 6 $$

Оба уравнения верны. ОДЗ ($x \ne 0$, $y \ne 0$) соблюдается.

Ответ: $(3, 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{2x - y} + y = -5 \\ \frac{y}{2x - y} = 6 \end{cases} $$

ОДЗ: $2x - y \ne 0$.

Для упрощения системы введем замену переменных. Пусть $a = \frac{1}{2x - y}$ и $b = y$.

Тогда второе уравнение $\frac{y}{2x - y} = 6$ можно переписать как $y \cdot \frac{1}{2x - y} = 6$, что в новых переменных дает $b \cdot a = 6$.

Система уравнений в новых переменных выглядит так:

$$ \begin{cases} a + b = -5 \\ ab = 6 \end{cases} $$

По обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - (-5)t + 6 = 0$, или $t^2 + 5t + 6 = 0$.

Найдем корни этого уравнения, например, по формуле корней квадратного уравнения:

$$ t = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{-5 \pm 1}{2} $$

Корни: $t_1 = \frac{-5-1}{2} = -3$ и $t_2 = \frac{-5+1}{2} = -2$.

Это дает нам две возможные пары значений для $(a, b)$: $(-3, -2)$ и $(-2, -3)$. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $a = -3$ и $b = -2$.

Делаем обратную замену: $y = b = -2$.

$\frac{1}{2x - y} = a = -3$. Подставим $y=-2$:

$$ \frac{1}{2x - (-2)} = -3 \implies \frac{1}{2x + 2} = -3 $$

$$ 1 = -3(2x + 2) \implies 1 = -6x - 6 \implies 6x = -7 \implies x = -\frac{7}{6} $$

Получили первое решение: $(-\frac{7}{6}, -2)$.

Случай 2: $a = -2$ и $b = -3$.

Делаем обратную замену: $y = b = -3$.

$\frac{1}{2x - y} = a = -2$. Подставим $y=-3$:

$$ \frac{1}{2x - (-3)} = -2 \implies \frac{1}{2x + 3} = -2 $$

$$ 1 = -2(2x + 3) \implies 1 = -4x - 6 \implies 4x = -7 \implies x = -\frac{7}{4} $$

Получили второе решение: $(-\frac{7}{4}, -3)$.

Ответ: $(-\frac{7}{6}, -2)$, $(-\frac{7}{4}, -3)$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 6 \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 20 \end{cases} $$

ОДЗ: $x \ne 0$, $y \ne 0$.

Введем замену переменных: $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$.

Система в новых переменных:

$$ \begin{cases} u + v = 6 \\ u^2 + v^2 = 20 \end{cases} $$

Возведем первое уравнение в квадрат: $(u + v)^2 = 6^2$, что дает $u^2 + 2uv + v^2 = 36$.

Зная, что $u^2 + v^2 = 20$, подставим это значение в полученное уравнение:

$$ 20 + 2uv = 36 $$

$$ 2uv = 16 $$

$$ uv = 8 $$

Теперь у нас есть новая система для $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u + v = 6 \\ uv = 8 \end{cases} $$

По обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 4$.

Это означает, что у нас есть два варианта для пары $(u, v)$: $(2, 4)$ и $(4, 2)$.

Случай 1: $u = 2$ и $v = 4$.

Возвращаемся к исходным переменным: $x = \frac{1}{u} = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{1}{v} = \frac{1}{4}$.

Первое решение: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$.

Случай 2: $u = 4$ и $v = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным: $x = \frac{1}{u} = \frac{1}{4}$ и $y = \frac{1}{v} = \frac{1}{2}$.

Второе решение: $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$, $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{13}{6} \\ x + y = 5 \end{cases} $$

ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.

В первом уравнении введем замену $t = \frac{y}{x}$. Тогда $\frac{x}{y} = \frac{1}{t}$. Уравнение принимает вид:

$$ t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6} $$

Умножим обе части на $6t$ (это допустимо, так как из ОДЗ следует, что $t \ne 0$):

$$ 6t^2 + 6 = 13t $$

$$ 6t^2 - 13t + 6 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение:

$$ t = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{12} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{13 \pm 5}{12} $$

Получаем два корня: $t_1 = \frac{13+5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{13-5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $t = \frac{y}{x} = \frac{3}{2}$, откуда $y = \frac{3}{2}x$.

Подставим это во второе уравнение системы $x + y = 5$:

$$ x + \frac{3}{2}x = 5 \implies \frac{5}{2}x = 5 \implies x = 2 $$

Тогда $y = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

Первое решение: $(2, 3)$.

Случай 2: $t = \frac{y}{x} = \frac{2}{3}$, откуда $y = \frac{2}{3}x$.

Подставим это во второе уравнение системы $x + y = 5$:

$$ x + \frac{2}{3}x = 5 \implies \frac{5}{3}x = 5 \implies x = 3 $$

Тогда $y = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$.

Второе решение: $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3)$, $(3, 2)$.