Номер 37.13, страница 186 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.13. Решите систему уравнений:

а) $ \begin{cases} 9x^2 - 25y^2 = 27, \\ 3x - 5y = 3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} xy = 2, \\ (x + y)^2 = 9. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 9x^2 - 25y^2 = 27, \\ 3x - 5y = 3; \end{cases} $

Заметим, что левая часть первого уравнения является разностью квадратов. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$9x^2 - 25y^2 = (3x)^2 - (5y)^2 = (3x - 5y)(3x + 5y)$

Теперь первое уравнение системы можно переписать в виде:

$(3x - 5y)(3x + 5y) = 27$

Из второго уравнения системы мы знаем, что $3x - 5y = 3$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$3 \cdot (3x + 5y) = 27$

Разделим обе части уравнения на 3:

$3x + 5y = 9$

Теперь мы имеем новую, более простую систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 5y = 3, \\ 3x + 5y = 9; \end{cases} $

Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от переменной $y$:

$(3x - 5y) + (3x + 5y) = 3 + 9$

$6x = 12$

$x = \frac{12}{6} = 2$

Теперь подставим найденное значение $x = 2$ во второе уравнение новой системы ($3x + 5y = 9$):

$3(2) + 5y = 9$

$6 + 5y = 9$

$5y = 9 - 6$

$5y = 3$

$y = \frac{3}{5}$

Решением системы является пара чисел $(2; \frac{3}{5})$.

Ответ: $(2; \frac{3}{5})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy = 2, \\ (x + y)^2 = 9. \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что выражение $x+y$ равно либо $3$, либо $-3$, так как это корни уравнения $z^2 = 9$.

$x+y = 3$ или $x+y = -3$.

Разобьем решение на два случая.

Случай 1: $x + y = 3$.

В этом случае система принимает вид:

$ \begin{cases} xy = 2, \\ x + y = 3. \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив наши значения, получим:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 3$, $t_1 \cdot t_2 = 2$. Корни равны $t_1=1$, $t_2=2$.

Это означает, что решениями системы являются пары чисел $(1; 2)$ и $(2; 1)$.

Случай 2: $x + y = -3$.

В этом случае система принимает вид:

$ \begin{cases} xy = 2, \\ x + y = -3. \end{cases} $

Аналогично первому случаю, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения:

$t^2 - (-3)t + 2 = 0$

$t^2 + 3t + 2 = 0$

Решим это уравнение. Корни: $t_1 = -1$, $t_2 = -2$.

Это означает, что решениями системы являются пары чисел $(-1; -2)$ и $(-2; -1)$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем четыре пары решений для исходной системы.

Ответ: $(1; 2)$, $(2; 1)$, $(-1; -2)$, $(-2; -1)$.