Номер 37.16, страница 187 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.16. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} x + y = -8, \\ x^2 + y^2 + 6x + 2y = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + 2y^2 - 3x - 2y - 10 = 0, \\ 2x - y - 1 = 0; \end{cases} $

В) $ \begin{cases} 2x + 5y = 20, \\ 2x^2 + 10xy + 17y^2 = 21. \end{cases} $

а) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x + y = -8 \\ x^2 + y^2 + 6x + 2y = 0 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим переменную $y$: $y = -8 - x$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы: $x^2 + (-8 - x)^2 + 6x + 2(-8 - x) = 0$
Раскроем скобки и упростим полученное уравнение: $x^2 + (64 + 16x + x^2) + 6x - 16 - 2x = 0$
Приведем подобные слагаемые: $(x^2 + x^2) + (16x + 6x - 2x) + (64 - 16) = 0$ $2x^2 + 20x + 48 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2: $x^2 + 10x + 24 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-10$, а их произведение равно $24$. Легко подобрать корни: $x_1 = -6$, $x_2 = -4$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя уравнение $y = -8 - x$:
1. Если $x_1 = -6$, то $y_1 = -8 - (-6) = -8 + 6 = -2$.
2. Если $x_2 = -4$, то $y_2 = -8 - (-4) = -8 + 4 = -4$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-6, -2)$, $(-4, -4)$.

б) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 2y^2 - 3x - 2y - 10 = 0 \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases} $
Из второго, линейного, уравнения выразим переменную $y$: $y = 2x - 1$
Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы: $x^2 + 2(2x - 1)^2 - 3x - 2(2x - 1) - 10 = 0$
Раскроем скобки и упростим уравнение: $x^2 + 2(4x^2 - 4x + 1) - 3x - 4x + 2 - 10 = 0$ $x^2 + 8x^2 - 8x + 2 - 3x - 4x + 2 - 10 = 0$
Приведем подобные слагаемые: $(x^2 + 8x^2) + (-8x - 3x - 4x) + (2 + 2 - 10) = 0$ $9x^2 - 15x - 6 = 0$
Разделим все члены уравнения на 3, чтобы упростить его: $3x^2 - 5x - 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$ $x_2 = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ по формуле $y = 2x - 1$:
1. Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$.
2. Если $x_2 = -\frac{1}{3}$, то $y_2 = 2(-\frac{1}{3}) - 1 = -\frac{2}{3} - 1 = -\frac{5}{3}$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(2, 3)$, $(-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3})$.

в) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x + 5y = 20 \\ 2x^2 + 10xy + 17y^2 = 21 \end{cases} $
Преобразуем уравнения для решения. Возведем первое уравнение в квадрат: $(2x + 5y)^2 = 20^2$ $4x^2 + 20xy + 25y^2 = 400$
Умножим второе уравнение системы на 2: $2(2x^2 + 10xy + 17y^2) = 2 \cdot 21$ $4x^2 + 20xy + 34y^2 = 42$
Теперь у нас есть новая система: $ \begin{cases} 4x^2 + 20xy + 25y^2 = 400 \\ 4x^2 + 20xy + 34y^2 = 42 \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго: $(4x^2 + 20xy + 34y^2) - (4x^2 + 20xy + 25y^2) = 42 - 400$
После упрощения получим: $34y^2 - 25y^2 = -358$ $9y^2 = -358$ $y^2 = -\frac{358}{9}$
Полученное уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, исходная система уравнений не имеет решений.
Ответ: решений нет.