Номер 37.5, страница 185 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.5. Решите систему уравнений:

а) $ \begin{cases} x + y = -8, \\ xy = -20; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 42. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = -8, \\ xy = -20. \end{cases} $$ Для решения данной системы можно воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета. Согласно этой теореме, если известны сумма и произведение корней, то эти корни являются решениями квадратного уравнения $t^2 - (сумма)t + (произведение) = 0$.

В нашем случае $x$ и $y$ можно рассматривать как корни квадратного уравнения с переменной $t$: $$t^2 - (x+y)t + xy = 0$$ Подставим известные значения $x+y = -8$ и $xy = -20$: $$t^2 - (-8)t + (-20) = 0$$ $$t^2 + 8t - 20 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$$ Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня: $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$

Найденные корни $t_1=2$ и $t_2=-10$ являются значениями для $x$ и $y$. Так как система симметрична относительно $x$ и $y$, решениями являются две пары чисел:
1) $x = 2, y = -10$
2) $x = -10, y = 2$

Ответ: $(2; -10)$, $(-10; 2)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 42. \end{cases} $$ Эту систему удобно решить методом подстановки.

Из первого уравнения выразим переменную $x$: $$x = 1 + y$$

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $$(1+y)y = 42$$

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2 + by + c = 0$: $$y + y^2 = 42$$ $$y^2 + y - 42 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$$ Найдем корни уравнения: $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = 1 + y$:
1) Если $y_1 = 6$, то $x_1 = 1 + 6 = 7$. Первое решение: $(7; 6)$.
2) Если $y_2 = -7$, то $x_2 = 1 + (-7) = -6$. Второе решение: $(-6; -7)$.

Ответ: $(7; 6)$, $(-6; -7)$.