Номер 36.43, страница 183 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.43*. Найдите произведение корней уравнения

$x^2 + 4x - \frac{7}{x^2+4x+5} = 1.$

Для решения данного уравнения удобно использовать метод замены переменной. Заметим, что в уравнении несколько раз встречается выражение $x^2 + 4x$.

Пусть $t = x^2 + 4x$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение $x^2 + 4x - \frac{7}{x^2 + 4x + 5} = 1$:

$t - \frac{7}{t + 5} = 1$

Прежде чем решать, определим область допустимых значений. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x^2 + 4x + 5 \neq 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$. Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент (при $x^2$) положителен, то выражение $x^2 + 4x + 5$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, уравнение определено для любых действительных значений $x$.

Теперь решим уравнение относительно $t$. Умножим обе части на $(t+5)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$t(t+5) - 7 = 1(t+5)$

$t^2 + 5t - 7 = t + 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$t^2 + 5t - t - 7 - 5 = 0$

$t^2 + 4t - 12 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $-12$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-6$.

Таким образом, $t_1 = 2$ и $t_2 = -6$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$:

1. Если $t = 2$, то:

$x^2 + 4x = 2$

$x^2 + 4x - 2 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24$. Поскольку $D > 0$, это уравнение имеет два действительных корня.

2. Если $t = -6$, то:

$x^2 + 4x = -6$

$x^2 + 4x + 6 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$. Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только два действительных корня, которые являются корнями уравнения $x^2 + 4x - 2 = 0$.

По условию задачи требуется найти произведение этих корней. Согласно теореме Виета для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$, произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно $\frac{c}{a}$.

Для уравнения $x^2 + 4x - 2 = 0$ имеем $a=1$, $b=4$, $c=-2$.

Произведение корней равно $\frac{-2}{1} = -2$.

Ответ: -2