Номер 36.36, страница 182 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.36. На одном из станков обрабатывают партию деталей на 1 ч быстрее, чем на другом. За сколько часов эту партию деталей может обработать каждый станок, работая отдельно, если, работая вместе, они выполняют эту работу за 1 ч 12 мин?

Пусть первый (более быстрый) станок выполняет всю работу, работая отдельно, за $x$ часов. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) равна $\frac{1}{x}$.

Согласно условию, второй станок выполняет эту же работу на 1 час дольше, то есть за $(x+1)$ часов. Соответственно, его производительность равна $\frac{1}{x+1}$.

При совместной работе их общая производительность является суммой их индивидуальных производительностей: $P_{общ} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$.

Известно, что вместе они выполняют всю работу за 1 час 12 минут. Необходимо перевести это время в часы для согласованности единиц измерения:

$1 \text{ ч } 12 \text{ мин} = 1 + \frac{12}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{5} \text{ ч} = \frac{6}{5} \text{ ч}$.

Объем всей работы можно принять за 1. Тогда работа равна произведению общей производительности на время совместной работы. На основе этого можно составить уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}) \cdot \frac{6}{5} = 1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{5}{6}$

Приводим дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{x+1+x}{x(x+1)} = \frac{5}{6}$

$\frac{2x+1}{x^2+x} = \frac{5}{6}$

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$6(2x+1) = 5(x^2+x)$

$12x + 6 = 5x^2 + 5x$

Переносим все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$:

$5x^2 + 5x - 12x - 6 = 0$

$5x^2 - 7x - 6 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm 13}{10}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{7+13}{10} = \frac{20}{10} = 2$

$x_2 = \frac{7-13}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$

Так как $x$ обозначает время, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -0.6$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи и отбрасывается.

Следовательно, время, за которое первый (быстрый) станок выполняет работу, равно $x = 2$ часа.

Время работы второго (медленного) станка составляет $x+1 = 2+1 = 3$ часа.

Ответ: один станок может обработать партию деталей за 2 часа, а другой — за 3 часа.