Номер 36.30, страница 182 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.30. Найдите корни уравнения:

а) $\frac{4}{9y^2 - 1} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y}$

б) $\frac{2y-1}{14y^2+7y} + \frac{8}{12y^2-3} = \frac{2y+1}{6y^2-3y}$

а) $ \frac{4}{9y^2 - 1} - \frac{4}{3y + 1} = \frac{5}{1 - 3y} $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $y$, при которых знаменатели обращаются в ноль.

$9y^2 - 1 = (3y - 1)(3y + 1) \neq 0 \implies y \neq \frac{1}{3}$ и $y \neq -\frac{1}{3}$.

$3y + 1 \neq 0 \implies y \neq -\frac{1}{3}$.

$1 - 3y \neq 0 \implies y \neq \frac{1}{3}$.

Таким образом, ОДЗ: $y \neq \pm\frac{1}{3}$.

Преобразуем уравнение, используя разложение на множители и свойство $1 - 3y = -(3y - 1)$:

$ \frac{4}{(3y - 1)(3y + 1)} - \frac{4}{3y + 1} = \frac{5}{-(3y - 1)} $

$ \frac{4}{(3y - 1)(3y + 1)} - \frac{4}{3y + 1} = -\frac{5}{3y - 1} $

Приведем уравнение к общему знаменателю $(3y - 1)(3y + 1)$ и умножим на него обе части уравнения, учитывая ОДЗ:

$ 4 - 4(3y - 1) = -5(3y + 1) $

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$ 4 - 12y + 4 = -15y - 5 $

$ 8 - 12y = -15y - 5 $

$ 15y - 12y = -5 - 8 $

$ 3y = -13 $

$ y = -\frac{13}{3} $

Найденный корень $-\frac{13}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($-\frac{13}{3} \neq \pm\frac{1}{3}$), следовательно, является решением уравнения.

Ответ: $-\frac{13}{3}$.

б) $ \frac{2y - 1}{14y^2 + 7y} + \frac{8}{12y^2 - 3} = \frac{2y + 1}{6y^2 - 3y} $

Разложим знаменатели на множители для нахождения ОДЗ и приведения к общему знаменателю:

$14y^2 + 7y = 7y(2y + 1)$

$12y^2 - 3 = 3(4y^2 - 1) = 3(2y - 1)(2y + 1)$

$6y^2 - 3y = 3y(2y - 1)$

Определим ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:

$7y(2y+1) \neq 0 \implies y \neq 0$ и $y \neq -\frac{1}{2}$.

$3(2y-1)(2y+1) \neq 0 \implies y \neq \frac{1}{2}$ и $y \neq -\frac{1}{2}$.

$3y(2y-1) \neq 0 \implies y \neq 0$ и $y \neq \frac{1}{2}$.

Таким образом, ОДЗ: $y \neq 0$, $y \neq \frac{1}{2}$, $y \neq -\frac{1}{2}$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$ \frac{2y - 1}{7y(2y + 1)} + \frac{8}{3(2y - 1)(2y + 1)} = \frac{2y + 1}{3y(2y - 1)} $

Общий знаменатель равен $21y(2y - 1)(2y + 1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$ 3(2y - 1)(2y - 1) + 8(7y) = 7(2y + 1)(2y + 1) $

$ 3(2y - 1)^2 + 56y = 7(2y + 1)^2 $

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения, и решим уравнение:

$ 3(4y^2 - 4y + 1) + 56y = 7(4y^2 + 4y + 1) $

$ 12y^2 - 12y + 3 + 56y = 28y^2 + 28y + 7 $

$ 12y^2 + 44y + 3 = 28y^2 + 28y + 7 $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ 28y^2 - 12y^2 + 28y - 44y + 7 - 3 = 0 $

$ 16y^2 - 16y + 4 = 0 $

Разделим обе части на 4:

$ 4y^2 - 4y + 1 = 0 $

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$ (2y - 1)^2 = 0 $

$ 2y - 1 = 0 $

$ y = \frac{1}{2} $

Проверим найденный корень по ОДЗ. Значение $y = \frac{1}{2}$ не входит в область допустимых значений, так как оно обращает в ноль знаменатели $12y^2-3$ и $6y^2-3y$. Следовательно, это посторонний корень, и уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.