Номер 36.37, страница 183 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.37. Найдите меньший корень уравнения

$\frac{3x^2 + 8x - 3}{x + 3} = x^2 - x + 2.$

Для решения уравнения $ \frac{3x^2 + 8x - 3}{x + 3} = x^2 - x + 2 $ необходимо выполнить следующие шаги.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$ x + 3 \neq 0 $

$ x \neq -3 $

2. Упростим левую часть уравнения, разложив числитель $3x^2 + 8x - 3$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $3x^2 + 8x - 3 = 0$.

Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 $

Найдем корни квадратного трехчлена:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3 $

Таким образом, числитель можно представить в виде произведения множителей:

$ 3x^2 + 8x - 3 = 3(x - \frac{1}{3})(x - (-3)) = (3x - 1)(x + 3) $

3. Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$ \frac{(3x - 1)(x + 3)}{x + 3} = x^2 - x + 2 $

4. С учетом ОДЗ ($x \neq -3$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x+3)$:

$ 3x - 1 = x^2 - x + 2 $

5. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - x - 3x + 2 + 1 = 0 $

$ x^2 - 4x + 3 = 0 $

6. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть 4, а произведение корней равно свободному члену, то есть 3. Легко подобрать корни:

$ x_1 = 1 $

$ x_2 = 3 $

7. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Оба корня ($1$ и $3$) не равны $-3$, следовательно, они являются корнями исходного уравнения.

8. В задаче требуется найти меньший корень. Сравнивая $1$ и $3$, получаем, что меньший корень равен $1$.

Ответ: 1