Номер 36.38, страница 183 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.38. Товарный поезд был задержан в пути на 30 мин, а затем на расстоянии 90 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на $15 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$. Найдите первоначальную скорость поезда.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость товарного поезда. Тогда увеличенная скорость поезда равна $(v + 15)$ км/ч.

Время, которое поезд должен был затратить на прохождение 90 км по расписанию, составляет $t_1 = \frac{90}{v}$ часов.

Фактическое время, затраченное на этот участок пути с увеличенной скоростью, составляет $t_2 = \frac{90}{v+15}$ часов.

Поезд был задержан на 30 минут, что составляет $0.5$ часа. Чтобы наверстать это время, он должен был проехать участок в 90 км на 0.5 часа быстрее, чем планировалось. Таким образом, разница между плановым и фактическим временем равна времени задержки.

Составим и решим уравнение:

$t_1 - t_2 = 0.5$

$\frac{90}{v} - \frac{90}{v+15} = 0.5$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{90(v+15) - 90v}{v(v+15)} = 0.5$

$\frac{90v + 1350 - 90v}{v^2 + 15v} = 0.5$

$\frac{1350}{v^2 + 15v} = 0.5$

Теперь воспользуемся свойством пропорции, учитывая, что скорость $v$ не может быть равна 0 или -15:

$v^2 + 15v = \frac{1350}{0.5}$

$v^2 + 15v = 2700$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 15v - 2700 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2700) = 225 + 10800 = 11025$

Найдем корни уравнения:

$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 \pm \sqrt{11025}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 \pm 105}{2}$

$v_1 = \frac{-15 + 105}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$v_2 = \frac{-15 - 105}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -60$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда была 45 км/ч.

Ответ: 45 км/ч.