Номер 36.32, страница 182 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.32. Найдите сумму корней уравнения:

а) $\frac{(x^2+x-12)(2x+7)}{x+4}=0;$

б) $\frac{(x^2+x-20)(2x+3)}{x+5}=0.$

а) $ \frac{(x^2 + x - 12)(2x + 7)}{x + 4} = 0 $

Данное уравнение представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$ \begin{cases} (x^2 + x - 12)(2x + 7) = 0, \\ x + 4 \neq 0. \end{cases} $

1. Решим первое уравнение системы, приравняв числитель к нулю:

$ (x^2 + x - 12)(2x + 7) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $ x^2 + x - 12 = 0 $.

Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $ x_1 + x_2 = -1 $, а произведение $ x_1 \cdot x_2 = -12 $. Подбором находим корни: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -4 $.

Случай 2: $ 2x + 7 = 0 $.

$ 2x = -7 $

$ x_3 = -3,5 $.

Таким образом, мы получили три потенциальных корня: 3, -4 и -3,5.

2. Теперь учтем второе условие системы (область допустимых значений):

$ x + 4 \neq 0 $, что означает $ x \neq -4 $.

3. Сравним полученные корни с областью допустимых значений. Корень $ x = -4 $ не удовлетворяет условию $ x \neq -4 $, поэтому он является посторонним и должен быть исключен.

Следовательно, действительными корнями исходного уравнения являются $ x = 3 $ и $ x = -3,5 $.

4. Найдем сумму этих корней:

$ 3 + (-3,5) = 3 - 3,5 = -0,5 $.

Ответ: -0,5.

б) $ \frac{(x^2 + x - 20)(2x + 3)}{x + 5} = 0 $

Аналогично предыдущему пункту, дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Запишем систему:

$ \begin{cases} (x^2 + x - 20)(2x + 3) = 0, \\ x + 5 \neq 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение из числителя:

$ (x^2 + x - 20)(2x + 3) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $ x^2 + x - 20 = 0 $.

По теореме Виета, сумма корней $ x_1 + x_2 = -1 $, а произведение $ x_1 \cdot x_2 = -20 $. Корнями являются числа $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = -5 $.

Случай 2: $ 2x + 3 = 0 $.

$ 2x = -3 $

$ x_3 = -1,5 $.

Потенциальные корни уравнения: 4, -5 и -1,5.

2. Проверим условие неравенства знаменателя нулю:

$ x + 5 \neq 0 $, откуда $ x \neq -5 $.

3. Исключим посторонний корень. Корень $ x = -5 $ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель равен нулю.

Значит, корнями исходного уравнения являются $ x = 4 $ и $ x = -1,5 $.

4. Найдем сумму корней:

$ 4 + (-1,5) = 4 - 1,5 = 2,5 $.

Ответ: 2,5.