Номер 36.28, страница 181 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.28. Мотоциклист задержался у шлагбаума на 24 мин. Увеличив после этого скорость на $10 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, он наверстал опоздание за 80 км. Определите первоначальную скорость мотоциклиста.

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость мотоциклиста. После увеличения скорость стала равна $(v + 10)$ км/ч.

Мотоциклист задержался у шлагбаума на 24 минуты. Это время опоздания он наверстал на участке пути длиной 80 км. Это означает, что разница между временем, которое он потратил бы на этот участок с первоначальной скоростью, и временем, которое он потратил фактически с увеличенной скоростью, составляет 24 минуты.

Сначала переведем время задержки из минут в часы, так как скорость дана в км/ч: $24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5} \text{ ч}$.

Время, которое мотоциклист затратил бы на 80 км с первоначальной скоростью $v$, вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{80}{v}$ ч.

Время, которое мотоциклист фактически затратил на 80 км с увеличенной скоростью $(v+10)$, равно $t_2 = \frac{S}{v+10} = \frac{80}{v+10}$ ч.

Разница во времени $t_1 - t_2$ равна времени задержки. Составим уравнение: $\frac{80}{v} - \frac{80}{v+10} = \frac{2}{5}$

Для упрощения решения разделим обе части уравнения на 2: $\frac{40}{v} - \frac{40}{v+10} = \frac{1}{5}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v+10)$: $\frac{40(v+10) - 40v}{v(v+10)} = \frac{1}{5}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение: $\frac{40v + 400 - 40v}{v^2 + 10v} = \frac{1}{5}$

$\frac{400}{v^2 + 10v} = \frac{1}{5}$

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получим: $1 \cdot (v^2 + 10v) = 400 \cdot 5$

$v^2 + 10v = 2000$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v^2 + 10v - 2000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 100 + 8000 = 8100$

Найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $v_1 = \frac{-10 + \sqrt{8100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 90}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$v_2 = \frac{-10 - \sqrt{8100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 90}{2} = \frac{-100}{2} = -50$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -50$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость мотоциклиста составляла 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.