Номер 36.29, страница 181 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.29. Два велосипедиста выехали в одно и то же время из двух пунктов в третий, куда они договорились прибыть одновременно. Они встретились через 3 ч, причем второму велосипедисту, чтобы прибыть вовремя, надо было проезжать каждый километр на 1 мин быстрее, чем первому, так как его путь был длиннее на 9 км. Какова скорость каждого велосипедиста?

Пусть $v_1$ (км/ч) и $S_1$ (км) — скорость и расстояние первого велосипедиста, а $v_2$ (км/ч) и $S_2$ (км) — скорость и расстояние второго велосипедиста.

Из условия, что велосипедисты выехали одновременно и договорились прибыть в третий пункт одновременно, а встретились через 3 часа, следует, что общее время в пути для каждого из них составляет $t = 3$ часа.

По условию, путь второго велосипедиста был на 9 км длиннее пути первого: $S_2 = S_1 + 9$

Зная, что расстояние равно произведению скорости на время ($S = v \cdot t$), мы можем выразить расстояния через скорости: $S_1 = v_1 \cdot 3$
$S_2 = v_2 \cdot 3$

Подставим эти выражения в уравнение, связывающее их пути: $3v_2 = 3v_1 + 9$
Разделив обе части уравнения на 3, получим первое уравнение для наших неизвестных скоростей: $v_2 = v_1 + 3$

Также по условию, второму велосипедисту надо было проезжать каждый километр на 1 минуту быстрее, чем первому. Переведем 1 минуту в часы: $1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч}$.

Время, которое тратит первый велосипедист на 1 км, составляет $\frac{1}{v_1}$ часа.
Время, которое тратит второй велосипедист на 1 км, составляет $\frac{1}{v_2}$ часа.

Поскольку второй велосипедист ехал быстрее, он тратил на 1 км меньше времени. Это дает нам второе уравнение: $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{v_2} = \frac{1}{60}$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $v_1$ и $v_2$. Подставим выражение для $v_2$ из первого уравнения ($v_2 = v_1 + 3$) во второе: $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{v_1 + 3} = \frac{1}{60}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $\frac{(v_1 + 3) - v_1}{v_1(v_1 + 3)} = \frac{1}{60}$
$\frac{3}{v_1^2 + 3v_1} = \frac{1}{60}$

Используя основное свойство пропорции ("крест-накрест"), получаем: $v_1^2 + 3v_1 = 3 \cdot 60$
$v_1^2 + 3v_1 = 180$
$v_1^2 + 3v_1 - 180 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$.

Теперь найдем корни уравнения для $v_1$: $v_{1,1} = \frac{-3 + 27}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$
$v_{1,2} = \frac{-3 - 27}{2 \cdot 1} = \frac{-30}{2} = -15$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому физический смысл имеет только первый корень. Таким образом, скорость первого велосипедиста $v_1 = 12$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго велосипедиста, подставив значение $v_1$ в первое уравнение: $v_2 = v_1 + 3 = 12 + 3 = 15$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 12 км/ч, скорость второго велосипедиста — 15 км/ч.