Номер 36.44, страница 183 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.44*. По двум концентрическим окружностям равномерно движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 10 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать за одну минуту на один оборот больше. Сколько оборотов в минуту совершает каждая точка?

Обозначим количество оборотов в минуту, которое совершают точки, как $n_1$ и $n_2$. Пусть $n_1$ — это частота вращения более быстрой точки, а $n_2$ — более медленной. Также введем периоды вращения $T_1$ и $T_2$ — время в секундах, за которое каждая точка совершает один полный оборот.

Из условия задачи известно, что одна точка делает за минуту на один оборот больше. Это значит:

$n_1 = n_2 + 1$

Также известно, что более быстрая точка совершает полный оборот на 10 секунд быстрее. Это означает, что ее период вращения на 10 секунд меньше:

$T_1 = T_2 - 10$

Существует обратная зависимость между частотой вращения в оборотах в минуту ($n$) и периодом в секундах ($T$). Поскольку в 1 минуте 60 секунд, связь выражается формулой:

$n = \frac{60}{T}$ или $T = \frac{60}{n}$

Выразим периоды $T_1$ и $T_2$ через частоты $n_1$ и $n_2$:

$T_1 = \frac{60}{n_1}$

$T_2 = \frac{60}{n_2}$

Теперь подставим эти выражения в уравнение для периодов $T_1 = T_2 - 10$:

$\frac{60}{n_1} = \frac{60}{n_2} - 10$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} n_1 = n_2 + 1 \\ \frac{60}{n_1} = \frac{60}{n_2} - 10 \end{cases}$

Подставим выражение для $n_1$ из первого уравнения во второе:

$\frac{60}{n_2 + 1} = \frac{60}{n_2} - 10$

Перенесем члены с переменными в одну сторону, а число — в другую:

$10 = \frac{60}{n_2} - \frac{60}{n_2 + 1}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $n_2(n_2 + 1)$:

$10 = \frac{60(n_2 + 1) - 60n_2}{n_2(n_2 + 1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$10 = \frac{60n_2 + 60 - 60n_2}{n_2^2 + n_2}$

$10 = \frac{60}{n_2^2 + n_2}$

Теперь умножим обе части на $(n_2^2 + n_2)$:

$10(n_2^2 + n_2) = 60$

Разделим обе части на 10:

$n_2^2 + n_2 = 6$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$n_2^2 + n_2 - 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения находятся по формуле $n_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_{2,1} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$n_{2,2} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку количество оборотов в минуту не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только положительный корень. Следовательно, частота вращения медленной точки:

$n_2 = 2$ оборота в минуту.

Теперь найдем частоту вращения быстрой точки:

$n_1 = n_2 + 1 = 2 + 1 = 3$ оборота в минуту.

Проверка:

Первая точка совершает 3 об/мин, вторая — 2 об/мин. Разница составляет $3 - 2 = 1$ об/мин, что соответствует условию.

Найдем их периоды вращения:
Период первой точки: $T_1 = \frac{60}{3} = 20$ секунд.
Период второй точки: $T_2 = \frac{60}{2} = 30$ секунд.
Разница в периодах: $T_2 - T_1 = 30 - 20 = 10$ секунд, что также соответствует условию.

Ответ: одна точка совершает 3 оборота в минуту, другая — 2 оборота в минуту.