Номер 24.5, страница 113 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.5. Решите систему неравенств:

a) $ \begin{cases} x > 5, \\ x \ge 7; \end{cases} $б) $ \begin{cases} x > 5, \\ x \le 7; \end{cases} $В) $ \begin{cases} x < 5, \\ x \ge 7; \end{cases} $Г) $ \begin{cases} x < 5, \\ x \le 7. \end{cases} $

а) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x > 5, \\ x \ge 7; \end{cases} $

Первое неравенство $x > 5$ задает множество решений, которое можно представить в виде числового промежутка $(5, +\infty)$.

Второе неравенство $x \ge 7$ задает множество решений, которое соответствует промежутку $[7, +\infty)$.

Решением системы является пересечение этих двух промежутков, то есть множество всех чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Нам нужно найти $(5, +\infty) \cap [7, +\infty)$.

Любое число, которое больше или равно 7, автоматически является и больше 5. Таким образом, более сильным является второе неравенство. Пересечением этих двух промежутков будет промежуток $[7, +\infty)$.

Ответ: $x \in [7, +\infty)$.

б) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x > 5, \\ x \le 7; \end{cases} $

Множество решений первого неравенства $x > 5$ — это промежуток $(5, +\infty)$.

Множество решений второго неравенства $x \le 7$ — это промежуток $(-\infty, 7]$.

Решением системы является пересечение этих промежутков: $(5, +\infty) \cap (-\infty, 7]$.

Мы ищем все числа $x$, которые одновременно больше 5 и меньше или равны 7. Это можно записать в виде двойного неравенства: $5 < x \le 7$.

Данному двойному неравенству соответствует числовой промежуток $(5, 7]$.

Ответ: $x \in (5, 7]$.

в) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x < 5, \\ x \ge 7; \end{cases} $

Решением первого неравенства $x < 5$ является промежуток $(-\infty, 5)$.

Решением второго неравенства $x \ge 7$ является промежуток $[7, +\infty)$.

Решение системы — это пересечение этих двух множеств: $(-\infty, 5) \cap [7, +\infty)$.

Не существует чисел, которые были бы одновременно меньше 5 и больше или равны 7. Эти два промежутка не имеют общих точек. Следовательно, их пересечение является пустым множеством.

Таким образом, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$.

г) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x < 5, \\ x \le 7. \end{cases} $

Решением первого неравенства $x < 5$ является промежуток $(-\infty, 5)$.

Решением второго неравенства $x \le 7$ является промежуток $(-\infty, 7]$.

Решением системы является пересечение этих промежутков: $(-\infty, 5) \cap (-\infty, 7]$.

Мы ищем числа, которые одновременно меньше 5 и меньше или равны 7. Если число меньше 5, оно автоматически удовлетворяет и второму условию (меньше или равно 7). Поэтому решением системы будет множество чисел, удовлетворяющих более сильному неравенству $x<5$.

Пересечением этих двух промежутков является промежуток $(-\infty, 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 5)$.