Номер 24.12, страница 114 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.12. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} 8(2 - x) - 2x \ge 3 \\ 3(1 - 6x) - x < 2x \end{cases}$

б) $\begin{cases} -(x + 5) > 3(x + 1) \\ 2x + 1 \ge 10x - 7 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2(x - 11) < -x - 8 \\ 4x - 10 \le 7(x - 7) + 9 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 6(x - 2) - x \ge 3x - 12 \\ 5(x + 1) - x \ge 8x + 3 \end{cases}$

д) $\begin{cases} 4(x + 3) + x < 3x + 6 \\ 6(x - 1) - x > 7x - 2 \end{cases}$

е) $\begin{cases} 5(x - 1) - x < 2x + 3 \\ 4(x + 1) - 2(x - 1) \ge 2 \end{cases}$

a)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 8(2 - x) - 2x \ge 3 \\ 3(1 - 6x) - x < 2x \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$8(2 - x) - 2x \ge 3$

$16 - 8x - 2x \ge 3$

$16 - 10x \ge 3$

$-10x \ge 3 - 16$

$-10x \ge -13$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-13}{-10}$

$x \le 1,3$

2. Решим второе неравенство:

$3(1 - 6x) - x < 2x$

$3 - 18x - x < 2x$

$3 - 19x < 2x$

$3 < 2x + 19x$

$3 < 21x$

$x > \frac{3}{21}$

$x > \frac{1}{7}$

3. Найдем пересечение полученных решений: $x > \frac{1}{7}$ и $x \le 1,3$.

Объединяя оба условия, получаем интервал $(\frac{1}{7}; 1,3]$.

Ответ: $(\frac{1}{7}; 1,3]$.

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} -(x + 5) > 3(x + 1) \\ 2x + 1 \ge 10x - 7 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$-(x + 5) > 3(x + 1)$

$-x - 5 > 3x + 3$

$-5 - 3 > 3x + x$

$-8 > 4x$

$-2 > x$, или $x < -2$

2. Решим второе неравенство:

$2x + 1 \ge 10x - 7$

$1 + 7 \ge 10x - 2x$

$8 \ge 8x$

$1 \ge x$, или $x \le 1$

3. Найдем пересечение полученных решений: $x < -2$ и $x \le 1$.

Общим решением является $x < -2$.

Ответ: $(-\infty; -2)$.

в)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2(x - 11) < -x - 8 \\ 4x - 10 \le 7(x - 7) + 9 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$2(x - 11) < -x - 8$

$2x - 22 < -x - 8$

$2x + x < -8 + 22$

$3x < 14$

$x < \frac{14}{3}$

2. Решим второе неравенство:

$4x - 10 \le 7(x - 7) + 9$

$4x - 10 \le 7x - 49 + 9$

$4x - 10 \le 7x - 40$

$-10 + 40 \le 7x - 4x$

$30 \le 3x$

$10 \le x$, или $x \ge 10$

3. Найдем пересечение полученных решений: $x < \frac{14}{3}$ и $x \ge 10$.

Так как $\frac{14}{3} \approx 4,67$, то не существует числа, которое одновременно меньше $\frac{14}{3}$ и больше или равно 10. Пересечение множеств пусто.

Ответ: решений нет.

г)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 6(x - 2) - x \ge 3x - 12 \\ 5(x + 1) - x \ge 8x + 3 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$6(x - 2) - x \ge 3x - 12$

$6x - 12 - x \ge 3x - 12$

$5x - 12 \ge 3x - 12$

$5x - 3x \ge -12 + 12$

$2x \ge 0$

$x \ge 0$

2. Решим второе неравенство:

$5(x + 1) - x \ge 8x + 3$

$5x + 5 - x \ge 8x + 3$

$4x + 5 \ge 8x + 3$

$5 - 3 \ge 8x - 4x$

$2 \ge 4x$

$\frac{2}{4} \ge x$

$x \le \frac{1}{2}$, или $x \le 0,5$

3. Найдем пересечение полученных решений: $x \ge 0$ и $x \le 0,5$.

Объединяя оба условия, получаем отрезок $[0; 0,5]$.

Ответ: $[0; 0,5]$.

д)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 4(x + 3) + x < 3x + 6 \\ 6(x - 1) - x > 7x - 2 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$4(x + 3) + x < 3x + 6$

$4x + 12 + x < 3x + 6$

$5x + 12 < 3x + 6$

$5x - 3x < 6 - 12$

$2x < -6$

$x < -3$

2. Решим второе неравенство:

$6(x - 1) - x > 7x - 2$

$6x - 6 - x > 7x - 2$

$5x - 6 > 7x - 2$

$-6 + 2 > 7x - 5x$

$-4 > 2x$

$-2 > x$, или $x < -2$

3. Найдем пересечение полученных решений: $x < -3$ и $x < -2$.

Общим решением является более строгое неравенство $x < -3$.

Ответ: $(-\infty; -3)$.

е)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 5(x - 1) - x < 2x + 3 \\ 4(x + 1) - 2(x - 1) \ge 2 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$5(x - 1) - x < 2x + 3$

$5x - 5 - x < 2x + 3$

$4x - 5 < 2x + 3$

$4x - 2x < 3 + 5$

$2x < 8$

$x < 4$

2. Решим второе неравенство:

$4(x + 1) - 2(x - 1) \ge 2$

$4x + 4 - 2x + 2 \ge 2$

$2x + 6 \ge 2$

$2x \ge 2 - 6$

$2x \ge -4$

$x \ge -2$

3. Найдем пересечение полученных решений: $x < 4$ и $x \ge -2$.

Объединяя оба условия, получаем полуинтервал $[-2; 4)$.

Ответ: $[-2; 4)$.