Номер 24.16, страница 115 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.16. Найдите наибольшее целое решение системы неравенств:

а) $ \begin{cases} x - 4 \le 1 - \frac{x-1}{4}; \\ 2x - 0,5 > \frac{x}{2} - 1,5; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{2x - 1}{6} + \frac{x + 2}{3} - \frac{x - 8}{2} > x - 1, \\ 2 - 2x > 0,5 + 0,5x. \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 4 \le 1 - \frac{x-1}{4}, \\ 2x - 0,5 > \frac{x}{2} - 1,5; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$x - 4 \le 1 - \frac{x-1}{4}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 4:

$4(x - 4) \le 4 \cdot 1 - 4 \cdot \frac{x-1}{4}$

$4x - 16 \le 4 - (x-1)$

$4x - 16 \le 4 - x + 1$

$4x - 16 \le 5 - x$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую:

$4x + x \le 5 + 16$

$5x \le 21$

$x \le \frac{21}{5}$

$x \le 4,2$

2. Решим второе неравенство:

$2x - 0,5 > \frac{x}{2} - 1,5$

Чтобы избавиться от дробей и десятичных знаков, умножим обе части на 2:

$2(2x - 0,5) > 2 \cdot \frac{x}{2} - 2 \cdot 1,5$

$4x - 1 > x - 3$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую:

$4x - x > -3 + 1$

$3x > -2$

$x > -\frac{2}{3}$

3. Объединим решения обоих неравенств:

$\begin{cases} x \le 4,2 \\ x > -\frac{2}{3} \end{cases}$

Решением системы является промежуток $(-\frac{2}{3}; 4,2]$.

Найдём целые числа, которые входят в этот промежуток: 0, 1, 2, 3, 4.

Наибольшее из этих целых чисел - 4.

Ответ: 4

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{2x-1}{6} + \frac{x+2}{3} - \frac{x-8}{2} > x - 1, \\ 2 - 2x > 0,5 + 0,5x \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{2x-1}{6} + \frac{x+2}{3} - \frac{x-8}{2} > x - 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на общий знаменатель, равный 6:

$6 \cdot \frac{2x-1}{6} + 6 \cdot \frac{x+2}{3} - 6 \cdot \frac{x-8}{2} > 6(x - 1)$

$(2x-1) + 2(x+2) - 3(x-8) > 6x - 6$

Раскроем скобки:

$2x - 1 + 2x + 4 - 3x + 24 > 6x - 6$

Приведем подобные слагаемые:

$x + 27 > 6x - 6$

Перенесем члены с $x$ в правую часть, а постоянные члены - в левую:

$27 + 6 > 6x - x$

$33 > 5x$

$x < \frac{33}{5}$

$x < 6,6$

2. Решим второе неравенство:

$2 - 2x > 0,5 + 0,5x$

Перенесем члены с $x$ в правую часть, а постоянные члены - в левую:

$2 - 0,5 > 0,5x + 2x$

$1,5 > 2,5x$

$x < \frac{1,5}{2,5}$

$x < \frac{15}{25}$

$x < \frac{3}{5}$

$x < 0,6$

3. Объединим решения обоих неравенств:

$\begin{cases} x < 6,6 \\ x < 0,6 \end{cases}$

Решением системы является промежуток $(-\infty; 0,6)$.

Найдём целые числа, которые входят в этот промежуток: ..., -2, -1, 0.

Наибольшее из этих целых чисел - 0.

Ответ: 0