Номер 24.23, страница 117 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.23. Решите совокупность неравенств, используя алгоритм:

а) $\begin{cases} 2x - 1 < 1, \\ 3 - x < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5x + 3 < 8, \\ 0,7 - 3x \ge -2,6; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x + 7 \le 9 + 2x, \\ x - 5 < 2x + 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2x - 3 < x - 3, \\ 4x + 3 < 8 - x. \end{cases}$

а) Решим каждое неравенство совокупности по отдельности. Для первого неравенства $2x - 1 < 1$, переносим $-1$ в правую часть, получаем $2x < 2$. Делим обе части на 2 и получаем $x < 1$. Решение этого неравенства — интервал $(-\infty; 1)$. Для второго неравенства $3 - x < 0$, переносим $3$ в правую часть, получаем $-x < -3$. Умножаем обе части на $-1$, меняя знак неравенства на противоположный, и получаем $x > 3$. Решение этого неравенства — интервал $(3; +\infty)$. Решение совокупности — это объединение множеств решений каждого неравенства. Объединяя $(-\infty; 1)$ и $(3; +\infty)$, получаем итоговое множество. Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

б) Решим каждое неравенство совокупности. Для первого неравенства $5x + 3 < 8$, вычитаем 3 из обеих частей: $5x < 8 - 3$, что дает $5x < 5$. Делим обе части на 5 и получаем $x < 1$. Решение — интервал $(-\infty; 1)$. Для второго неравенства $0,7 - 3x \geq -2,6$, вычитаем 0,7 из обеих частей: $-3x \geq -2,6 - 0,7$, что равносильно $-3x \geq -3,3$. Делим обе части на $-3$ и меняем знак неравенства на противоположный: $x \leq 1,1$. Решение — полуинтервал $(-\infty; 1,1]$. Решением совокупности является объединение множеств $(-\infty; 1)$ и $(-\infty; 1,1]$. Поскольку множество $(-\infty; 1)$ полностью содержится в множестве $(-\infty; 1,1]$, их объединением будет большее из множеств. Ответ: $x \in (-\infty; 1,1]$.

в) Решим каждое неравенство совокупности. Для первого неравенства $3x + 7 \leq 9 + 2x$, переносим слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $3x - 2x \leq 9 - 7$, что дает $x \leq 2$. Решение — полуинтервал $(-\infty; 2]$. Для второго неравенства $x - 5 < 2x + 2$, переносим слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую: $-5 - 2 < 2x - x$, что дает $-7 < x$, или $x > -7$. Решение — интервал $(-7; +\infty)$. Решением совокупности является объединение множеств $(-\infty; 2]$ и $(-7; +\infty)$. Это объединение покрывает всю числовую прямую, так как любое действительное число либо меньше или равно 2, либо больше -7. Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Решим каждое неравенство совокупности. Для первого неравенства $2x - 3 < x - 3$, переносим $x$ в левую часть, а $-3$ в правую: $2x - x < -3 + 3$, что дает $x < 0$. Решение — интервал $(-\infty; 0)$. Для второго неравенства $4x + 3 < 8 - x$, переносим $-x$ в левую часть, а $3$ в правую: $4x + x < 8 - 3$, что дает $5x < 5$. Делим обе части на 5 и получаем $x < 1$. Решение — интервал $(-\infty; 1)$. Решением совокупности является объединение множеств $(-\infty; 0)$ и $(-\infty; 1)$. Поскольку множество $(-\infty; 0)$ полностью содержится в множестве $(-\infty; 1)$, их объединением будет большее из множеств. Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.