Номер 24.20, страница 116 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.20. Длина одной стороны треугольника равна 8 см, а сумма длин двух других — 20 см. Найдите длины этих сторон, зная, что они выражаются целыми числами.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, одна сторона $a = 8$ см, а сумма двух других $b + c = 20$ см. Также известно, что длины сторон $b$ и $c$ являются целыми числами.

Для существования треугольника необходимо выполнение неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Запишем эти условия для нашего треугольника:

1) $a + b > c$

2) $a + c > b$

3) $b + c > a$

Подставим известные значения в эти неравенства.

Третье неравенство $b + c > a$ принимает вид $20 > 8$, что является верным.

Рассмотрим оставшиеся два неравенства. Из условия $b + c = 20$ выразим одну из сторон, например, $c = 20 - b$. Подставим это выражение в первое и второе неравенства.

Из первого неравенства $a + b > c$ получаем:

$8 + b > 20 - b$

$2b > 20 - 8$

$2b > 12$

$b > 6$

Из второго неравенства $a + c > b$ получаем:

$8 + (20 - b) > b$

$28 - b > b$

$28 > 2b$

$14 > b$

Таким образом, мы получили двойное неравенство для длины стороны $b$: $6 < b < 14$. Поскольку по условию $b$ — это целое число, то его возможные значения: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Теперь найдем соответствующие значения для стороны $c$, используя формулу $c = 20 - b$.

- Если $b = 7$ см, то $c = 20 - 7 = 13$ см.

- Если $b = 8$ см, то $c = 20 - 8 = 12$ см.

- Если $b = 9$ см, то $c = 20 - 9 = 11$ см.

- Если $b = 10$ см, то $c = 20 - 10 = 10$ см.

- Если $b = 11$ см, то $c = 20 - 11 = 9$ см. (Эта пара сторон, 11 и 9, уже найдена).

- Если $b = 12$ см, то $c = 20 - 12 = 8$ см. (Эта пара сторон, 12 и 8, уже найдена).

- Если $b = 13$ см, то $c = 20 - 13 = 7$ см. (Эта пара сторон, 13 и 7, уже найдена).

Следовательно, существует четыре уникальные пары длин для двух искомых сторон.

Ответ: Длины двух других сторон могут быть следующими парами: 7 см и 13 см; 8 см и 12 см; 9 см и 11 см; 10 см и 10 см.