Номер 24.18, страница 116 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.18. Найдите все значения переменной $x$, при которых значение выражения $\frac{7-9x}{18}$ не меньше значения выражения $7-\frac{x}{12}$, а значение выражения $1-10x$ неотрицательно.

Для нахождения всех значений переменной $x$ необходимо составить и решить систему из двух неравенств, исходя из условий задачи.

Первое условие гласит, что значение выражения $\frac{7-9x}{18}$ не меньше значения выражения $7 - \frac{x}{12}$. «Не меньше» означает «больше или равно» ($\ge$), поэтому первое неравенство имеет вид:

$\frac{7-9x}{18} \ge 7 - \frac{x}{12}$

Второе условие гласит, что значение выражения $1-10x$ неотрицательно. «Неотрицательно» означает «больше или равно нулю» ($\ge 0$), следовательно, второе неравенство:

$1-10x \ge 0$

Таким образом, мы должны решить систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{7-9x}{18} \ge 7 - \frac{x}{12} \\ 1-10x \ge 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство. Для этого умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 18 и 12, которое равно 36. Так как 36 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$36 \cdot \frac{7-9x}{18} \ge 36 \cdot \left(7 - \frac{x}{12}\right)$

$2(7-9x) \ge 36 \cdot 7 - 36 \cdot \frac{x}{12}$

$14 - 18x \ge 252 - 3x$

Соберем слагаемые с $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$-18x + 3x \ge 252 - 14$

$-15x \ge 238$

Разделим обе части на -15. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x \le -\frac{238}{15}$

Теперь решим второе неравенство:

$1-10x \ge 0$

$-10x \ge -1$

Разделим обе части на -10, снова изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le \frac{-1}{-10}$

$x \le \frac{1}{10}$

Мы получили два условия для $x$: $x \le -\frac{238}{15}$ и $x \le \frac{1}{10}$. Чтобы найти итоговое решение, необходимо найти пересечение этих двух множеств. Так как $-\frac{238}{15}$ является отрицательным числом, а $\frac{1}{10}$ — положительным, то $-\frac{238}{15} < \frac{1}{10}$. Решением системы будет более строгое неравенство, то есть $x \le -\frac{238}{15}$.

Таким образом, все значения переменной $x$, удовлетворяющие условиям задачи, принадлежат промежутку $(-\infty; -\frac{238}{15}]$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{238}{15}]$