Номер 24.19, страница 116 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.19. Найдите сумму целых решений системы неравенств

$$\begin{cases}0.8(x - 3) - 3.2 < 0.3(2 - x), \\0.2(2x + 1) > -(x - 1.6).\end{cases}$$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, найти пересечение их решений, а затем найти сумму целых чисел, входящих в это пересечение.

1. Решение первого неравенства

Решим первое неравенство: $0.8(x - 3) - 3.2 < 0.3(2 - x)$.

Для удобства вычислений умножим обе части неравенства на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$10 \cdot (0.8(x - 3) - 3.2) < 10 \cdot (0.3(2 - x))$

$8(x - 3) - 32 < 3(2 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$8x - 24 - 32 < 6 - 3x$

Приведём подобные слагаемые:

$8x - 56 < 6 - 3x$

Перенесём слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя знаки на противоположные:

$8x + 3x < 6 + 56$

$11x < 62$

Разделим обе части на 11:

$x < \frac{62}{11}$

Представим дробь в виде смешанного числа: $x < 5\frac{7}{11}$.

2. Решение второго неравенства

Решим второе неравенство: $0.2(2x + 1) > -(x - 1.6)$.

Раскроем скобки в правой части:

$0.2(2x + 1) > -x + 1.6$

Умножим обе части на 10:

$10 \cdot (0.2(2x + 1)) > 10 \cdot (-x + 1.6)$

$2(2x + 1) > -10x + 16$

Раскроем скобки в левой части:

$4x + 2 > -10x + 16$

Перенесём слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые — в правую:

$4x + 10x > 16 - 2$

$14x > 14$

Разделим обе части на 14:

$x > 1$.

3. Нахождение суммы целых решений

Мы получили систему из двух простых неравенств:

$\begin{cases} x < 5\frac{7}{11} \\ x > 1 \end{cases}$

Решением системы является интервал $(1; 5\frac{7}{11})$.

Целыми решениями, которые принадлежат этому интервалу, являются числа 2, 3, 4 и 5.

Найдём сумму этих целых решений:

$2 + 3 + 4 + 5 = 14$.

Ответ: 14